Вопросы по устойчивости для системы ДУ

[Schoti]

Здравствуйте, простите, пожалуйста, за, возможно, глупые вопросы и не по теме. Но всё-таки, есть простейшая система ДУ $dx/dt=f(x)$, $f(0)=0$ и $df(0)/dx=0$, вопрос устойчивости по Ляпунову положения равновесия в данном случае это что-то тривиальное или нет? И ещё один, если у системы есть периодическое решение, и все его характеристические показатели (определение читайте у Хартмана Ф. "Обыкновенные дифференциальные уравнения", стр. 303) имеют нулевую вещественную часть, то вопрос его орбитальной устойчивости (определение читайте у Хартмана Ф. "Обыкновенные дифференциальные уравнения", стр. 304) это тоже что-то элементарное или нет? Красивая восьмиконечная эмблема у форума. Спасибо.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: устала бодаться.

-- 11.06.2017, 01:43 --

Уважаемые коллеги, Хартмана цитировать действительно муторно (и не факт, что нужно), но если кому-то нужно, а нет под рукой, намекните, пожалуйста, ТС все ваши пожелания.

[Schoti]

Ну, Lia, вы даёте, я уже говорил вам, что навязанные вами уточнения сужают возможный список ответов. А теперь я же и виноват.

[Lia]

Schoti
Замечание за обсуждение модерирования в тематическом разделе.

[DeBill]

Schoti в сообщении #1223984 писал(а):

вопрос устойчивости по Ляпунову положения равновесия в данном случае это что-то тривиальное или нет?

Ответ: ДА.
Именно, в одномерном случае - да, тривиально (смотрим на знак, и все дела).
А в многомерном (начиная с 2) - настолько нетривиально, что - ой...
Есть кнешно, методы (разрешение особенностей, полярное раздутие, сигма-процесс, раздутие по Фроммеру и Брюно...).
Но есть и "Проблема различения центра и фокуса"и "Проблема уст-ти по Ля..." (погуглите!).
Типа, доказана их алгебраическая неразрешимость (и, недавно - даже, вроде, аналитическая).
Фишка вся в том, что на устойчивость начинают влиять нелинейные члены. Вот простой пример: у ф-ции производная в нуле равна 0. Это - максимум или минимум? Если вторая производная ненулевая - то да. А Вы спрашиваете про случай, когда она равна нулю. Ну и какой же ответ? (И это - хорошая задача, проблема различения макс-мин здесь алг. разрешима. Для в. полей на плоскости все гораздо хуже).
То же касается устойчивости пер. решений: все теперь будет зависеть от нелинейных членов, и с тем же проклятьем многомерности (трансверсали к циклу)

[Schoti]

Дебил это медицинский термин, если не ошибаюсь. Поэтому мне неудобно так к вам обращаться, тем более он относится к детям. Буду вам очень благодарен, если вы укажете ссылки на литературу и конкретные прикладные задачи, в которых используются такие системы.

Чтобы не быть голословным, объясню суть «моих» мыслей. Прошу быть снисходительными. Если я вас только насмешу, то прошу меня простить.

Дана система чётной размерности: $\frac{dx}{dt} =f(x)$, $f(0)=0$, $\frac{\partial f(0)}{\partial x} =0$. Делаем в ней замену $x=e^{At} y$, где для двумерного случая $A=\left(\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ {-1} & {0} \end{array}\right)$, то есть матрица $e^{At} $ периодическая, и получаем уравнение $y'=-Ay+e^{-At} f\left(e^{At} y\right)$. В правой части находится степенной ряд с периодическими коэффициентами для степеней $y$ два и более. Далее нужно применить метод из статьи. Могу прислать копию статьи, если дадите email.

Случай периодического решения, вероятно, слишком сложен. Напрасно вас беспокоил. Простите, пожалуйста.

[Karan]

Schoti, предупреждение за оффтоп (обсуждение никнейма) и искажение никнейма участника.
Вы можете вставить точный никнейм, кликнув на него над аватарой польователя.

[Red_Herring]

DeBill в сообщении #1224168 писал(а):

А в многомерном (начиная с 2) - настолько нетривиально, что - ой...

Всё таки 2-мерный случай, хотя и гораздо сложнее одномерного, сравнительно прост. А в размерности 3 и выше начинаются настоящие Содом и Гоморра. Дело в том, что если есть две близкие траектории, и третья, которая в какой-то момент была между ними, то так будет и всегда--в размерности 2. А в более высоких размерностях эта траектория не будет "зажата" и может выскользнуть и умчаться не в ту степъ.

[Schoti]

Копию статьи можно скачать здесь.

Karan, простите, пожалуйста, я был не прав, ведь это может быть настоящим именем форумчанина. И скажите, пожалуйста, как правильно пишется слово Karan: коран, Koran, Coran, Alcoran, Quran, Koran itself? Или это ваше настоящее имя? Спасибо.

[Lia]

Schoti
Блокировка трое суток за игнорирование предупреждения модератора.

[DeBill]

Red_Herring в сообщении #1224456 писал(а):

Всё таки 2-мерный случай, хотя и гораздо сложнее одномерного, сравнительно прост.

Да-да, для дифуров правильно говорить "мало" - для 1, "много" - для 3. А 2 - как раз самый интересный случай, потому как много что можно сделать, причем нетривиального.

Schoti в сообщении #1224433 писал(а):

ссылки на литературу и конкретные прикладные задачи,

Судя по Вашей непринужденной готовности хамить всем и вся, Вы не нуждаетесь в этом.
Вместе с тем, вопрос меня заинтересовал: неужели таким простым фокусом (искусственным введением нетривиальной линейной части) можно получить что-то новое?
Ответ, конечно же, НЕТ (что вполне ожидаемо: маловероятно в студенческой работе, посвященной вдоль и поперек изученной теме, обнаружить что-то принципиально новое). Конкретно: вычисления по алгоритму из статьи для неавтономной системы ТС автоматически дают нулевое значение величины $h$ (по знаку которой предполагалось определить устойчивость/неустойчивость). Так что "надо продолжить, пока не будет найден ... с ненулевым значением...". Фактически, придется работать именно до того места, где и классические методы разрешения особенности (для исходной системы) дали бы ответ на вопрос об устойчивости. Таким образом, нам предлагают испортить исходную автономную систему, а затем добираться (к изначально видимой, хотя и достаточно далекой, цели) через болота и буераки неавтономности кружным путем....

[Red_Herring]

DeBill в сообщении #1224598 писал(а):

А 2 - как раз самый интересный случай, потому как много что можно сделать, причем нетривиального.

В учебных задачах. Но именно в размерности 3 появляются странные аттракторы. А в размерности 4--малые знаменатели. Т.е. все размерности интересны по-своему. Впрочем ТС все науки постиг, включая науку политеса, но его знания окружающие, к сожалению, не оценили

[Schoti]

Чувствовал себя как Буратино в чулане у Мальвины.

DeBill в сообщении #1224598 писал(а):

Конкретно: вычисления по алгоритму из статьи для неавтономной системы ТС автоматически дают нулевое значение величины $h$ (по знаку которой предполагалось определить устойчивость/неустойчивость).

Не понимаю, прошу объяснить.

DeBill в сообщении #1224598 писал(а):

Фактически, придется работать именно до того места, где и классические методы разрешения особенности (для исходной системы) дали бы ответ на вопрос об устойчивости.

Прошу указать их.

Чтобы снять вопрос о возможности автоматического обнуления параметра $h$, можно немного усложнить первоначальную систему, а именно, добавим периодичность по $t$ в правую часть: $\frac{dx}{dt} =f(t,x)$, $f(t+2\pi ,x)\equiv f(t,x)$, $f(t,0)=0$, $\frac{\partial f(t,0)}{\partial x} =0$. Снова делаем в ней замену $x=e^{At} y$, где для двумерного случая $A=\left(\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ {-1} & {0} \end{array}\right)$, то есть матрица $e^{At} $ периодическая, и получаем уравнение $y'=-Ay+e^{-At} f\left(t,e^{At} y\right)$. В правой части находится степенной ряд с периодическими коэффициентами для степеней $y$ два и более. Далее можно применить метод из указанной статьи. В частном случае, когда $f(t,x)=e^{At} f_{1} \left(e^{-At} x\right)$, где функция $f_{1} (u)$ обладает теми же свойствами: $f_{1} (0)=0$, $\frac{\partial f_{1} (0)}{\partial u} =0$, для $y$ получаем систему $y'=-Ay+e^{-At} f\left(t,e^{At} y\right)=-Ay+f_{1} (y)$, у которой в правой части, начиная со второй степени, находится произвольный ряд по $y$. Для такой системы, как мне кажется, автоматического обнуления $h$ не происходит, и это легко проверить.

Кажется, для новой системы можно предположить почти периодичность у правой части. Размерность чётная.

Я быстро пролистал две книги российских авторов, посвящённых сильно нелинейным системам:

Хазин Л.Г., Шноль Э.Э. Устойчивость критических положений равновесия (1985).

Козлов В. В., Фурта С. Д. Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений (2009).

Мне понравились, особенно первая - энциклопедия критических случаев. Поэтому я надеюсь услышать профессиональное мнение.

[DeBill]

Schoti в сообщении #1225721 писал(а):

Чтобы снять вопрос о возможности автоматического обнуления параметра $h$,

Да, насчет "автоматического обнуления" - это я загнул... Потому как невнимательно посмотрел статью. На самом деле, все гораздо хуже: метод, описанный в статье, не годится ни для исходной системы (после ее переделки), ни для последней (периодической) системы, так что дело не дойдет не то что до вычисления $h$: метод сломается даже раньше.
Фишка в том, что автор статьи (не указав это изначально!), использует отсутствие (некоторых) резонансов: "Мы также предполагаем ....", стр.3, строка 7). Отсутствие их гарантировано в случае иррациональности параметра $\omega$ . Однако, для последней системы это условие не выполняется (а после модификакции исходной, ВСЕ мономы полученной будут резонансными). Так что - no pasaran!
Можно прикинуть, что будем иметь в ситуации, когда автору статьи, при нарушении его условия нерезонансности, нет нужды убивать резонансные мономы - по причине их отсутствия (это соответствовало бы отсутствию квадратичных членов в исходной автономной системе). Ну, тогда все получилось бы, да. Но гораздо проще в таком случае сразу заморочиться поиском функции Ляпунова - в виде многочлена четвертой степени....
Описание простейшего метода разрешения особенностей есть в книжке Арнольда (Доп.главы..., г.1, п.2). Исследование особых точек с линейной частью типа "центр" - там же, г.6, п.33. О нормальных формах уравнений с периодическими коэффициентами - г.5,п.26. Сводка результатов по устойчивости (двумерных систем) есть в "зеленой энциклопедии" (Динамические системы, ВИНИТИ, т.1 (ОДУ, Арнольд, Ильяшенко; г.1,п.4; г.2, п.5; формулировки только ответов занимают 5 страниц))