борелевское множество

[Spook]

Привести пример борелевского множества но не замкнутого и не открытого.
Я знаю, что это полуинтервал $[a,b)$, он не замкнут$(b\notin[a,b))$ и не открыт$(\forall\epsilon<0$ $a+\epsilon\notin[a,b))$. Теперь нужно доказать, что этот полуинтервал представляется в виде счетного обьединения и пересечения замкнутых и открытых множеств соответственно.
Выражения я составить смог, но вот строго доказать их не могу:
$[a,b)=\bigcup\limits_{i=1}^\infty[a,b-\frac 1 i]$
$[a,b)=\bigcap\limits_{i=1}^\infty(a-\frac 1 i,b)$
по мне они вообще какие-то очевидные, но хочется иметь доказательство.

[Echo-Off]

По старинке: пусть $x$ принадлежит объединению $[a,\,b-\frac 1i]$. Тогда для какого-то $i$ $x$ принадлежит $[a,\,b-\frac 1i]$, тогда $x$ принадлежит $[a,\,b)$. Наоборот, пусть $x$ принадлежит $[a,\,b)$...

[AD]

Ну возьмите любую точку на прямой, и убедитесь, что она принадлежит множеству справа тогда и только тогда, когда она принадлежит множеству слева.

[Brukvalub]

Что-то странное Вы пишете:

Spook писал(а):

и не открыт$(\forall\epsilon>0$ $a+\epsilon\notin[a,b))$

А представления Вы дали верные.

[Spook]

Brukvalub, опечатался, щас исправлю.
Echo-Off,AD, и вправду, докажу "по старинке", спасибо

[PAV]

А можно еще рассмотреть множество всех рациональных точек...

[Spook]

PAV, а разве множество рациональных точек не является и открытым, и замкнутым?

[Echo-Off]

Spook, не является ни открытым, ни замкнутым. И вообще, одновременно открытых и замкнутых множеств на прямой раз-два и обчёлся.

[Spook]

Echo-Off, а это случайно не множество вещественных чисел и пустое множество?
PAV, можно вкратце доказательство(особенно интересно почему оно является борелевским)?

[Echo-Off]

Spook писал(а):

а это случайно не множество вещественных чисел и пустое множество?

Ага.

Spook писал(а):

можно вкратце доказательство(особенно интересно почему оно является борелевским)?

Точка является борелевским (например, $\{a\} = \cap\limits_{n=1}^{\infty} [a;\,a+\frac 1n]$). Значит, счётное объединение точек - борелевское.

[Spook]

Echo-Off, спасибо, вопрос решен.