2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 борелевское множество
Сообщение24.05.2008, 20:32 
Аватара пользователя
Привести пример борелевского множества но не замкнутого и не открытого.
Я знаю, что это полуинтервал $[a,b)$, он не замкнут$(b\notin[a,b))$ и не открыт$(\forall\epsilon<0$ $a+\epsilon\notin[a,b))$. Теперь нужно доказать, что этот полуинтервал представляется в виде счетного обьединения и пересечения замкнутых и открытых множеств соответственно.
Выражения я составить смог, но вот строго доказать их не могу:
$[a,b)=\bigcup\limits_{i=1}^\infty[a,b-\frac 1 i]$
$[a,b)=\bigcap\limits_{i=1}^\infty(a-\frac 1 i,b)$
по мне они вообще какие-то очевидные, но хочется иметь доказательство.

 
 
 
 
Сообщение24.05.2008, 20:37 
Аватара пользователя
По старинке: пусть $x$ принадлежит объединению $[a,\,b-\frac 1i]$. Тогда для какого-то $i$ $x$ принадлежит $[a,\,b-\frac 1i]$, тогда $x$ принадлежит $[a,\,b)$. Наоборот, пусть $x$ принадлежит $[a,\,b)$...

 
 
 
 
Сообщение24.05.2008, 20:38 
Ну возьмите любую точку на прямой, и убедитесь, что она принадлежит множеству справа тогда и только тогда, когда она принадлежит множеству слева.

 
 
 
 
Сообщение24.05.2008, 20:38 
Аватара пользователя
Что-то странное Вы пишете:
Spook писал(а):
и не открыт$(\forall\epsilon>0$ $a+\epsilon\notin[a,b))$
:shock:
А представления Вы дали верные.

 
 
 
 
Сообщение24.05.2008, 20:55 
Аватара пользователя
Brukvalub, опечатался, щас исправлю.
Echo-Off,AD, и вправду, докажу "по старинке", спасибо :)

 
 
 
 
Сообщение24.05.2008, 21:33 
Аватара пользователя
А можно еще рассмотреть множество всех рациональных точек...

 
 
 
 
Сообщение24.05.2008, 21:40 
Аватара пользователя
PAV, а разве множество рациональных точек не является и открытым, и замкнутым?

 
 
 
 
Сообщение24.05.2008, 21:49 
Аватара пользователя
Spook, не является ни открытым, ни замкнутым. И вообще, одновременно открытых и замкнутых множеств на прямой раз-два и обчёлся.

 
 
 
 
Сообщение24.05.2008, 21:56 
Аватара пользователя
Echo-Off, а это случайно не множество вещественных чисел и пустое множество?
PAV, можно вкратце доказательство(особенно интересно почему оно является борелевским)?

 
 
 
 
Сообщение24.05.2008, 22:25 
Аватара пользователя
Spook писал(а):
а это случайно не множество вещественных чисел и пустое множество?

Ага.
Spook писал(а):
можно вкратце доказательство(особенно интересно почему оно является борелевским)?

Точка является борелевским (например, $\{a\} = \cap\limits_{n=1}^{\infty} [a;\,a+\frac 1n]$). Значит, счётное объединение точек - борелевское.

 
 
 
 
Сообщение24.05.2008, 22:27 
Аватара пользователя
Echo-Off, спасибо, вопрос решен.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group