Найти собственные значения и корневые подпространства A

[tremor]

Оператор задан матрицей:

$$A = \begin{pmatrix} 4 & -5 & 2 \\ 5 & -7 & 3 \\ 6 & -9 & 4 \end{pmatrix}$$

C собственными значениями проблем нет:

$$\mathrm{det}|A-I{\lambda}| = \begin{vmatrix}4-\lambda & -5 & 2 \\ 5 & -7-\lambda & 3 \\ 6 & -9 & 4-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^3-\lambda^2 $$

И соответственно:

$\lambda_1 = 0$ $\lambda_2 = 1$

Как теперь найти корневые подпространства?

[Xaositect]

А что такое корневое подпространство?

[tremor]

Xaositect в сообщении #1223295 писал(а):

А что такое корневое подпространство?

Ну в каких-то книжках его еще собственным называют, если я правильно помню.

[Xaositect]

tremor в сообщении #1223301 писал(а):

Ну в каких-то книжках его еще собственным называют, если я правильно помню.

Нет, корневые и собственные подпространства - это разные вещи, а я Вас просил привести определение.

[tremor]

Xaositect в сообщении #1223303 писал(а):

tremor в сообщении #1223301 писал(а):

Ну в каких-то книжках его еще собственным называют, если я правильно помню.

Нет, корневые и собственные подпространства - это разные вещи, а я Вас просил привести определение.

Ядро линейного оператора вида $\mathrm{\ker}(A-{\lambda_i}I)$

Где $\lambda_{i}$ Соответствующее собственное значение?

[Xaositect]

Это собственные подпространства, и найти их легко - надо решить уравнения $(A - \lambda_i I)x = 0$.

Корневые подпространства - это немного посложнее. Вы по какому учебнику учитесь?

[tremor]

Xaositect в сообщении #1223312 писал(а):

Это собственные подпространства, и найти их легко - надо решить уравнения $(A - \lambda_i I)x = 0$.

Корневые подпространства - это немного посложнее. Вы по какому учебнику учитесь?

По Ильину-Позняку (потому что физфак)

[Xaositect]

В Ильине-Позняке определения корневых пространств нет, но по сути все разобрато в параграфе про жорданову форму, в терминах присоединенных векторов.

Корневым подпространством $V(\lambda)$ называют подпространство всех векторов $x$, для которых существует натуральное $k$ такое, что $(A - \lambda I)^k x = 0$. Соответственно, и находить их можно по определению - решать последовательно системы уравнений $(A - \lambda I) x = 0$, $(A - \lambda I)^2 x = 0$, $(A - \lambda I)^3 x = 0$ и т.д., пока не перестанут появляться новые решения.

[tremor]

Xaositect в сообщении #1223320 писал(а):

В Ильине-Позняке определения корневых пространств нет, но по сути все разобрато в параграфе про жорданову форму, в терминах присоединенных векторов.

Корневым подпространством $V(\lambda)$ называют подпространство всех векторов $x$, для которых существует натуральное $k$ такое, что $(A - \lambda I)^k x = 0$. Соответственно, и находить их можно по определению - решать последовательно системы уравнений $(A - \lambda I) x = 0$, $(A - \lambda I)^2 x = 0$, $(A - \lambda I)^3 x = 0$ и т.д., пока не перестанут появляться новые решения.

Вместо $\lambda$ Подставляются найденные собственные значения, я правильно понял?

[Xaositect]

Да.

[tremor]

Xaositect в сообщении #1223323 писал(а):

Да.

Да, все сходится, ну а кратность характеристического многочлена как я понял из экспериментов должна совпадать с кратностью собственного значения которое подставляем.

[Brukvalub]

tremor в сообщении #1223357 писал(а):

кратность характеристического многочлена

Что это за термин?