2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти собственные значения и корневые подпространства A
Сообщение08.06.2017, 11:34 
Оператор задан матрицей:
$$A = \begin{pmatrix} 4 & -5 & 2 \\ 5 & -7 & 3 \\ 6 & -9 & 4 \end{pmatrix}$$

C собственными значениями проблем нет:
$$\mathrm{det}|A-I{\lambda}| = \begin{vmatrix}4-\lambda & -5 & 2 \\ 5 & -7-\lambda & 3 \\ 6 & -9 & 4-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^3-\lambda^2 $$

И соответственно:
$\lambda_1 = 0$  $\lambda_2 = 1$


Как теперь найти корневые подпространства?

 
 
 
 Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A
Сообщение08.06.2017, 12:32 
Аватара пользователя
А что такое корневое подпространство?

 
 
 
 Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A
Сообщение08.06.2017, 12:47 
Xaositect в сообщении #1223295 писал(а):
А что такое корневое подпространство?


Ну в каких-то книжках его еще собственным называют, если я правильно помню.

 
 
 
 Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A
Сообщение08.06.2017, 12:51 
Аватара пользователя
tremor в сообщении #1223301 писал(а):
Ну в каких-то книжках его еще собственным называют, если я правильно помню.
Нет, корневые и собственные подпространства - это разные вещи, а я Вас просил привести определение.

 
 
 
 Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A
Сообщение08.06.2017, 13:05 
Xaositect в сообщении #1223303 писал(а):
tremor в сообщении #1223301 писал(а):
Ну в каких-то книжках его еще собственным называют, если я правильно помню.
Нет, корневые и собственные подпространства - это разные вещи, а я Вас просил привести определение.


Ядро линейного оператора вида $\mathrm{\ker}(A-{\lambda_i}I)$

Где $\lambda_{i}$ Соответствующее собственное значение?

 
 
 
 Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A
Сообщение08.06.2017, 13:11 
Аватара пользователя
Это собственные подпространства, и найти их легко - надо решить уравнения $(A - \lambda_i I)x = 0$.

Корневые подпространства - это немного посложнее. Вы по какому учебнику учитесь?

 
 
 
 Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A
Сообщение08.06.2017, 13:19 
Xaositect в сообщении #1223312 писал(а):
Это собственные подпространства, и найти их легко - надо решить уравнения $(A - \lambda_i I)x = 0$.

Корневые подпространства - это немного посложнее. Вы по какому учебнику учитесь?


По Ильину-Позняку (потому что физфак)

 
 
 
 Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A
Сообщение08.06.2017, 13:30 
Аватара пользователя
В Ильине-Позняке определения корневых пространств нет, но по сути все разобрато в параграфе про жорданову форму, в терминах присоединенных векторов.

Корневым подпространством $V(\lambda)$ называют подпространство всех векторов $x$, для которых существует натуральное $k$ такое, что $(A - \lambda I)^k x = 0$. Соответственно, и находить их можно по определению - решать последовательно системы уравнений $(A - \lambda I) x = 0$, $(A - \lambda I)^2 x = 0$, $(A - \lambda I)^3 x = 0$ и т.д., пока не перестанут появляться новые решения.

 
 
 
 Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A
Сообщение08.06.2017, 13:38 
Xaositect в сообщении #1223320 писал(а):
В Ильине-Позняке определения корневых пространств нет, но по сути все разобрато в параграфе про жорданову форму, в терминах присоединенных векторов.

Корневым подпространством $V(\lambda)$ называют подпространство всех векторов $x$, для которых существует натуральное $k$ такое, что $(A - \lambda I)^k x = 0$. Соответственно, и находить их можно по определению - решать последовательно системы уравнений $(A - \lambda I) x = 0$, $(A - \lambda I)^2 x = 0$, $(A - \lambda I)^3 x = 0$ и т.д., пока не перестанут появляться новые решения.


Вместо $\lambda$ Подставляются найденные собственные значения, я правильно понял?

 
 
 
 Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A
Сообщение08.06.2017, 13:39 
Аватара пользователя
Да.

 
 
 
 Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A
Сообщение08.06.2017, 16:05 
Xaositect в сообщении #1223323 писал(а):
Да.


Да, все сходится, ну а кратность характеристического многочлена как я понял из экспериментов должна совпадать с кратностью собственного значения которое подставляем.

 
 
 
 Re: Найти собственные значения и корневые подпространства A
Сообщение08.06.2017, 16:48 
Аватара пользователя
tremor в сообщении #1223357 писал(а):
кратность характеристического многочлена

Что это за термин? :shock:

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group