В Ильине-Позняке определения корневых пространств нет, но по сути все разобрато в параграфе про жорданову форму, в терминах присоединенных векторов.
Корневым подпространством

называют подпространство всех векторов

, для которых существует натуральное

такое, что

. Соответственно, и находить их можно по определению - решать последовательно системы уравнений

,

,

и т.д., пока не перестанут появляться новые решения.