Наследственность в мирах

[arseniiv]

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1222686 писал(а):

А, кстати, а теория вероятностей формализирована или нет?

Да, но она вряд ли ответит, что такое «попадающиеся» здесь.

[Sinoid]

Тогда стало ясно, что написано здесь:

Sinoid в сообщении #1222686 писал(а):

получается, что без предположения об истинности $p$ только во втором мире формула $\neg p$ могла бы в каком-нибудь мире быть истинна.

: если бы при сделанном предположении о присутствии (истинности) формулы $p$ в бо́льшем мире допустить возможность присутствия (быть истинной) формулы $\neg p$, например, в меньшем мире, то это означало бы отсутствие формулы $p$ в мирах, больших или равных меньшему, и, в частности, отсутствие формулы $p$ в бо́льшем мире, я уж не говорю о допущении при этом условии возможности присутствия (быть истинной) формулы $\neg p$ в бо́льшем мире. Теперь ясно, насколько нелепо выглядит эта мысль:

Sinoid в сообщении #1222347 писал(а):

А разве в одном и том же мире не могут присутствовать формулы $p$ и $\neg p$ одновременно?

А тогда получается, что запись $u\Vdash\neg\neg A$ означает отсутствие в мире $v\geqslant u$ формулы $\neg A$, которая в свою очередь означает отсутствие в мире $w\geqslant v$ формулы $A$. Так это получается, что запись $u\Vdash\neg\neg A$ означает присутствие в мире $w\geqslant u$ формулы $A$ или как? Сам понимаю, что выглядит это совсем не в духе ожидаемого, но пока ничего другого в голову не приходит. Найдите, пожалуйста, ошибку в моих рассуждениях.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1222894 писал(а):

Так это получается, что запись $u\Vdash\neg\neg A$ означает присутствие в мире $w\geqslant u$ формулы $A$ или как?

Да, так. $u \Vdash \neg \neg A$ означает, что в каком-то достижимом из $A$ мире есть $A$ (поэтому скажем $\neg \neg A \vee \neg A$ уже общезначима - если $A$ есть в каком-то достижимом мире, то верен первый дизъюнкт, иначе второй).

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1222912 писал(а):

достижимом из $A$

Вы же хотели сказать "достижимом из $u$"?

mihaild в сообщении #1222912 писал(а):

(поэтому скажем $\neg \neg A \vee \neg A$ уже общезначима - если $A$ есть в каком-то достижимом мире, то верен первый дизъюнкт, иначе второй).

А разве такими же рассуждениями нельзя вывести невыводимую формулу $A \vee \neg A$?

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1222956 писал(а):

Вы же хотели сказать "достижимом из $u$"?

Да, так. Что-то перебор у меня в этой теме опечаток

Sinoid в сообщении #1222956 писал(а):

А разве такими же рассуждениями нельзя вывести невыводимую формулу $A \vee \neg A$?

Нет. В случае с $\neg\neg A \vee \neg A$ у нас оба дизъюнкта "зависят" от всех достижимых миров, в случае с $A \vee \neg A$ - нет. Поэтому во втором случае можно манипулированием в нашем мире сделать ложным первый дизъюнкт, а потом манипулированием в каком-то большем - сделать ложным второй. В первой формуле так не получится: как только мы в каком-то мире сделали истинной $A$, мы не только сделали ложной $\neg A$ в нашем мире, но и сделали в нем истинной $\neg \neg A$.

(и да, мы тут ничего не "выводили", вывод - формальная штука; мы показали общезначимость; доказать, что всё общезначимое выводимо - отдельная нетривиальная задача)

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1222968 писал(а):

В случае с $\neg\neg A \vee \neg A$ у нас оба дизъюнкта "зависят" от всех достижимых миров, в случае с $A \vee \neg A$ - нет. Поэтому во втором случае можно манипулированием в нашем мире сделать ложным первый дизъюнкт, а потом манипулированием в каком-то большем - сделать ложным второй

и тогда второй дизъюнкт будет ложен в нашем мире. А как только мы сделали ложным $\neg A$ в большем мире, мы в мирах, равных большему или еще больших, сделали истинной формулу $A$, но это не означает, что мы сделали истинной формулу $A$ в нашем мире: истинность наследственна вверх, а не вниз.

[mihaild]

Sinoid, пардон, соврамши:oops: Что-то с моей интуицией стало, пора видимо учебники читать. Пока что пусть отвечают более знающие товарищи.
Да, вы абсолютно правы: формула $\neg \neg A \vee \neg A$ не является тавтологией (и это даже написано в "Языках и исчислениях", вместе с примером шкалы).

[arseniiv]

(Не претендую на то, что более знающий, тем более что заглядываю в эту тему вечно не вовремя: всё, что можно было бы сказать, оказывается уже сказанным.)

Интересное место тут в том (ну, мы-то знаем, а ТС наверняка пока нет), что есть куча логик, по силе находящихся между интуиционистской и классической, и, например, нельзя опровергнуть формулу в интуиционистской, попробовав вывести из неё закон исключенного третьего (LEM) (мне зачем-то приходила на ум такая идея), как, например, в случае $\neg A\vee\neg\neg A$ — не получится: в интуиционистских моделях этой формулы не будет тождественно истинен LEM.

Вот, кстати, Sinoid, а найдите все модели LEM (или, например, $\neg\neg A\to A$). (Это было бы, думается, куда страшнее, используй мы для интерпретации алгебры Гейтинга, а не шкалы Крипке.) И проверьте, что в них всё классно классическо. Если Верещагин с Шенем, конечно, про это ещё не успели спросить. Не скажу, что от этого добавится какая-то интуиционистская интуиция, но сам результат всё равно полезен — он говорит, что рассматриваемая интерпретация «совместима» с обычной классической (хотя это тоже, вроде, очевидно).

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1223232 писал(а):

Вот, кстати, Sinoid, а найдите все модели LEM

Увы, я пока даже не понимаю, что вы от меня требуете. У Верещагина с Шенем это для меня пока далекая, можно сказать, на сегодняшний день, непостижимая пятая глава.

[arseniiv]

Ой, да, я забыл, что про логику высказываний иногда не говорят «интерпретация», «модель». Чёрт, такая задачка пропадает.

-- Чт июн 08, 2017 17:52:44 --

Нет, не пропадает — переформулируем её. Найдите все шкалы Крипке, в которых LEM (или, опять же, $\neg\neg A\to A$) истинен во всех мирах. Проверьте, что множество формул, истинных во всех мирах таких шкал, совпадает с множеством классических тавтологий. Как-то так.

[Sinoid]

Спасибо большущее!