функан, функционал в гильбертовом пространстве

[zoo]

ewert писал(а):

Меня что удивляет: ведь есть же уже давно (всяко ранее 67-го) установившееся, вполне общепринятое и естественное определение. Звучит оно примерно так.

Допустим, есть у нас банахово пространство (как частный случай -- гильбертово). И есть некий оператор $A$, действующий в некое другое банахово (а как частный случай -- в то же или другое гильбертово). Этот оператор может быть ограничен или нет, не суть, но что важно -- что он должен быть плотно определён.

Теперь берём выражение вида $(Ax,y)$, под которым может пониматься или значение линейного функционала $y$, т.е. некоего элемента сопряжённого пространства, или в гильбертовом случае попросту скалярное произведение. Этот функционал может оказаться или ограниченным, или нет.

Если он неограничен, то отправляем $y$ фтопку.

Если оператор $A$ неограничен то и функционал не обязан быть ограниченным.

ewert писал(а):

В противном случае объявляем его элементом области определения сопряженного оператора, а значением сопряжённого оператора на нём объявляем элемент сопряжённого пространства (соотв., эл-т гильбертова пространства) $z\equiv A^*y$, который задаёт тот функционал по формальному правилу $(Ax,y)=(x,z)$.

а этого самого $z$ может и не существовать (это будет соответствовать тому, что $y$ не принадлежит обл. определения), функционал-то неограничен вообще говоря и теорема Рисса не проходит.

Это касательно общих конструкций.

Однако, я снимаю свои возражения, т.к. для элемента $y$ у нас функционал ограничен по условию задачи, и его можно продолжить по непрерывности на
$\overline{{\rm Im\,}A^*}$
, и поэтому по теореме Рисса существует $z$ и Вы доказали, что $y\in D(A^{*(-1)*})$.

Хорошо теперь у меня два вопроса, 1) по поводу формулы ${(A^*)}^{-1}={(A^{-1})}^*$. Это откуда?

и главное:

2) Если эта формула верна, то далее Вы используете тождество $T^{**}=T$ Но это тождество справедливо тогда и только тогда когда оператор $T$ замкнут. См. цитированный учебник. Почему соответствующий оператор у Вас замкнут?

[ewert]

zoo писал(а):

Если оператор $A$ неограничен то и функционал не обязан быть ограниченным.

Логическая ошибка. Не обязан, но вполне может.

Цитата:

ewert писал(а):

В противном случае объявляем его элементом области определения сопряженного оператора, а значением сопряжённого оператора на нём объявляем элемент сопряжённого пространства (соотв., эл-т гильбертова пространства) $z\equiv A^*y$, который задаёт тот функционал по формальному правилу $(Ax,y)=(x,z)$.

а этого самого $z$ может и не существовать (это будет соответствовать тому, что $y$ не принадлежит обл. определения), функционал-то неограничен вообще говоря и теорема Рисса не проходит.

Вот именно. Принадлежит по определению тогда и только тогда, когда проходит теорема Рисса (в гильбертовом случае, разумеется; в банаховом никакой теоремы не нужно).

Цитата:

2) Если эта формула верна, то далее Вы используете тождество $T^{**}=T$ Но это тождество справедливо тогда и только тогда когда оператор $T$ замкнут. См. цитированный учебник. Почему соответствующий оператор у Вас замкнут?

Это -- правильный вопрос. Правильных ответов -- несколько.

1). Для начала предположим, что оператор замкнут. Тогда всё проходит.

2). Теперь пусть он не замкнут, но допускает замыкание. Тогда требованиям задачи удовлетворяют векторы, входящие в образ замыкания. Т.е правильная форулировка выглядит так: оценка справедлива тогда и только тогда, когда игрек принадлежит образу замыкания.

3) Наконец, откуда возьмётся замкнутость, если её не было? -- это просто. В момент второго сопряжения обратного оператора. Второй сопряжённый -- это и есть замыкание исходного (если оно вообще возможно).

[zoo]

ewert писал(а):

Наконец, откуда возьмётся замкнутость, если её не было? -- это просто. В момент второго сопряжения обратного оператора. Второй сопряжённый -- это и есть замыкание исходного (если оно вообще возможно).

это переформулировка уже сказанного "если оно вообще возможно" или что тоже самое "верна формула $T^{**}=T$ Но я как раз и спрашиваю Вас : а почему это замыкание возможно? Вы же пользуетесь формулой
$T^{**}=T$ ? Докажите, что оператор $A^{-1}$ замкнут. Докажите, что ${(A^*)}^{-1}={(A^{-1})}^*$.

[ewert]

zoo писал(а):

это переформулировка уже сказанного "если оно вообще возможно" или что тоже самое "верна формула $T^{**}=T$ Но я как раз и спрашиваю Вас : а почему это замыкание возможно? Вы же пользуетесь формулой
$T^{**}=T$ ? Докажите, что оператор $A^{-1}$ замкнут. Докажите, что ${(A^*)}^{-1}={(A^{-1})}^*$.

Хорошо. Мы имеем дело с оператором $A$, действующим между парой гильбертовых пространств $H_1$ и $H_2$. Этот оператор (если неограничен) плотно определён в $H_1$, иначе у него просто не было бы сопряжённого. Пространство $H_2$ сужено до замыкания области значений, так что обратный оператор (коль скоро он существует) тоже плотно определён и имеет сопряжённый.

Замкнутость оператора $A$ равносильна тому, что его график $G(A)$ представляет собой подпространство (т.е. линеен и замкнут) в гильбертовом пространстве $H_1\times H_2$ с естественным скалярным произведением (собственно, это одно из эквивалентных определений замкнутости оператора). График оператора $A^{-1}$ получается из графика исходного как $G(A^{-1})=U\,G(A)$, где $U$ -- преобразование из $H_1\times H_2$ в $H_2\times H_1$, которое каждую пару $(x,y)$ переводит в пару $(y,x)$. Это преобразование изометрично в обе стороны, поэтому прямой и обратный операторы замкнуты или не замкнуты одновременно.

Теперь пусть $V$ -- преобразование из $H_1\times H_2$ в $H_2\times H_1$, которое каждую пару $(x,y)$ переводит в пару $(-y,x)$ (оно тоже изометрично в обе стороны). Тогда определение сопряжённого оператора сводится к тому, что его график $G(A^{*})$ представляет собой ортогональное дополнение в $H_2\times H_1$ к подпространству $V\,G(A)$ (откуда, между прочим, сопряжённый оператор всегда замкнут). С учётом изометричности преобразования $U$ пара подпространств $G({(A^*)}^{-1}})$ и $V\,G(A^{-1})$ также реализует ортогональное разложение, но уже пространства $H_1\times H_2$. Это означает, что операторы ${(A^*)}^{-1}$ и {(A^{-1})}^*$ всегда совпадают.

Вообще-то это всё общие факты.

[zoo]

я тоже разобрася. замкнутость оператора $A^{-1}$ не нужна. Поскольку $A^{*(-1)*}=A^{**(-1)}=A^{-1}$
первое равенство в этой цепочке -- следствие теоремы Филлипса, а второе -- очевидно т.к. операция $**$ применяется к ограниченному оператору. Теорема действительно доказана.

Мои поздравления!

[ewert]

zoo писал(а):

я тоже разобрася. замкнутость оператора $A^{-1}$ не нужна. <...> операция $**$ применяется к ограниченному оператору.

я тоже счастлив, что все во всём разобралися, но всё же не могу не отметить: если оператор ограничен, то он автоматически замкнут (коль скоро задан на всём пр-ве), а с ним не менее автоматически и обратный.

[zoo]

ewert писал(а):

я тоже счастлив, что все во всём разобралися, но всё же не могу не отметить: если оператор ограничен, то он автоматически замкнут (коль скоро задан на всём пр-ве), а с ним не менее автоматически и обратный.

можно и так, тогда без теоремы Филлипса. Надо подумать о возможности обобщения этого факта на случай неограниченного оператора с плотной областью определения

[ewert]

да я уж вроде и как обобщил, причём вполне автоматически. Я просто не знаю, что такое теорема Филлипса. Ну не попадалась она мне под руку, а фамилий всех теорем не упомнишь.

[zoo]

ewert писал(а):

да я уж вроде и как обобщил, причём вполне автоматически

а вот интересно, если у нас оператор $A$ неограниечен то почему
$D(A^*)\subseteq \overline {Im\, A}$, ведь именно это используется у Вас в доказательстве? Или это стандартный факт?

[ewert]

zoo писал(а):

а вот интересно, если у нас оператор $A$ неограниечен то почему
$D(A^*)\subseteq \overline {Im\, A}$, ведь именно это используется у Вас в доказательстве? Или это стандартный факт?

А она и не содержится, под областью определения сопряжённого понимается $D(A^*)\cap\overline {Im\, A}$ или, что то же самое, ортопроекция $D(A^*)$ на $\left({\mathrm Ker\,}A^*\right)^\perp$. Это множество плотно в $\overline {Im\, A}$.

[zoo]

почему $D(A^*)\cap\overline {Im\, A}$ плотно в $\overline {Im\, A}$?

[ewert]

zoo писал(а):

почему $D(A^*)\cap\overline {Im\, A}$ плотно в $\overline {Im\, A}$?

потому, что в данном случае пересечение совпадает с проекцией. Если исходное множество плотно для некоторого подппространства, то его проекция -- тем более.

[zoo]

да именно это я и не понял

ewert писал(а):

$D(A^*)\cap\overline {Im\, A}$ или, что то же самое, ортопроекция $D(A^*)$ на $\left({\mathrm Ker\,}A^*\right)^\perp$. Это множество плотно в $\overline {Im\, A}$.

почему $D(A^*)\cap\overline {Im\, A}=$ортопроекция $D(A^*)$ на $\left({\mathrm Ker\,}A^*\right)^\perp$

[ewert]

zoo писал(а):

да именно это я и не понял

ewert писал(а):

$D(A^*)\cap\overline {Im\, A}$ или, что то же самое, ортопроекция $D(A^*)$ на $\left({\mathrm Ker\,}A^*\right)^\perp$. Это множество плотно в $\overline {Im\, A}$.

почему $D(A^*)\cap\overline {Im\, A}=$ортопроекция $D(A^*)$ на $\left({\mathrm Ker\,}A^*\right)^\perp$

А потому, что та ортопроекция берётся "из себя", так, по-родственному.

А если серьёзнее -- то потому, что любой элемент исходной области определения раскладывается на две взаимно ортогональные компоненты. Одна принадлежит ядру сопряжённого. Однако: ядро замкнутого оператора -- замкнуто. И, следовательно, проекция на него заведомо принадлежит области определения исходного. А значит, и вторая компонента тоже обязана принадлежать той же области.

[zoo]

да, пожалуй разобрался, спасибо