Наследственность в мирах

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1222323 писал(а):

Разве пункт 4 индуктивного определения не будет следовать из такого определения:
$w\Vdash\neg A$, если в мире $w$ формула $A$ не истинна

Нет, не будет. Контрпример: два мира, $u > v$, $u \Vdash p, v \nVdash p$. Тогда согласно вашему определению $v\Vdash \neg p$, а согласно книжному - нет.

У меня впечатление, что вы пытаетесь подогнать шкалы Крипке под классическую интерпретацию. Это сделать принципиально невозможно. Истинность формулы в мире может зависеть не только от того, что есть в самом этом мире, но и от того, что выше.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1222331 писал(а):

У меня впечатление, что вы пытаетесь подогнать шкалы Крипке под классическую интерпретацию

Ничего я не пытаюсь ни к чему подогнать. Я просто пытаюсь осмыслить написанное.

mihaild в сообщении #1222331 писал(а):

Нет, не будет. Контрпример: два мира, $u > v$, $u \Vdash p, v \nVdash p$. Тогда согласно вашему определению $v\Vdash \neg p$, а согласно книжному - нет.

А разве в одном и том же мире не могут присутствовать формулы $p$ и $\neg p$ одновременно?

(Оффтоп)

На днях придумал предложение, которое не является истинным, но может быть не ложным. Смотрите. Имеется бесконечное множество шаров. Обозначим его через $M$. Предложение "Все шары множества $M$ зеленого цвета" может иметь истинностное значение "ложь": среди шаров этого множества попался красный шар. Или его истинностное значение может быть неопределенно: все попадающиеся шары зеленого цвета. Но сказать, что предложение истинно, человек, не участвовавший в построении этого множества, а, значит, никто, не имеет право, даже если все шары этого множества зеленого цвета: все шары множества $M$ невозможно перебрать.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1222347 писал(а):

А разве в одном и том же мире не могут присутствовать формулы $p$ и $\neg p$ одновременно?

Нет, не могут.
$u\Vdash \neg p$ означает, что для любого $u \geqslant v$ (в частности для $u = v$) выполнено $u \nVdash p$.
UPD: должно быть $v\Vdash \neg p$ означает, что для любого $u \geqslant v$ (в частности для $u = v$) выполнено $u \nVdash p$

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1222355 писал(а):

$u\Vdash \neg p$ означает, что для любого $u \geqslant v$ (в частности для $u = v$) выполнено $u \nVdash p$.

Вы точно это имели ввиду? Просто, во-первых, $v$ никак не используется, а во-вторых...

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1222490 писал(а):

Вы точно это имели ввиду?

Да, там должно было быть "$v \Vdash \neg p$ означает, что ...".
(ну собственно определение из книжки; подставьте в приведенное на скриншоте определение $u = w$)

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1222347 писал(а):

На днях придумал предложение, которое не является истинным, но может быть не ложным. Смотрите. Имеется бесконечное множество шаров. Обозначим его через $M$. Предложение "Все шары множества $M$ зеленого цвета" может иметь истинностное значение "ложь": среди шаров этого множества попался красный шар. Или его истинностное значение может быть неопределенно: все попадающиеся шары зеленого цвета. Но сказать, что предложение истинно, человек, не участвовавший в построении этого множества, а, значит, никто, не имеет право, даже если все шары этого множества зеленого цвета: все шары множества $M$ невозможно перебрать.

Это можно, в принципе, подкорректировав, оформить как-то, но в текущем виде это неверно, потому что должно быть можно всё это выразить в классической логике, где значений всего два.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1222498 писал(а):

Да, там должно было быть "$v \Vdash \neg p$ означает, что ...".

Вот это-то меня и смутило.

-- 05.06.2017, 22:48 --

arseniiv в сообщении #1222500 писал(а):

потому что должно быть можно всё это выразить в классической логике, где значений всего два.

Зачем? Разве интуиционисткая логика не построена с целью противопоставления классической в связи с вновь открывшимися обстоятельствами?

-- 05.06.2017, 23:12 --

mihaild в сообщении #1222355 писал(а):

$u\Vdash \neg p$ означает, что для любого $u \geqslant v$ (в частности для $u = v$) выполнено $u \nVdash p$.

В смысле с учетом этого

mihaild в сообщении #1222498 писал(а):

Да, там должно было быть "$v \Vdash \neg p$ означает, что ...".

(может, вы исправите?) во всяком мире

mihaild в сообщении #1222355 писал(а):

$u \geqslant v$

отсутствует формула $p$?

[arseniiv]

Я имею в виду, ваш аргумент вполне в рамках классической, так что он не может быть верным. В интуиционистской теории множеств можно сделать подобное, но не так.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1222504 писал(а):

во всяком мире

mihaild в сообщении #1222355 писал(а):

$u \geqslant v$

отсутствует формула $p$?

Да. $u \nVdash p$ - это просто обозначение для "в $u$ отсутствует $p$". Т.е. $u \nVdash p$ и $\neg (u \Vdash p)$ - это одно и то же по определению (значка $\nVdash$).

-- 05.06.2017, 22:27 --

Sinoid в сообщении #1222504 писал(а):

во всяком мире

mihaild в сообщении #1222355 писал(а):

$u \geqslant v$

отсутствует формула $p$?

Да. $u \nVdash p$ - это просто обозначение для "в $u$ отсутствует $p$". Т.е. $u \nVdash p$ и $\neg (u \Vdash p)$ - это одно и то же по определению (значка $\nVdash$).

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1222538 писал(а):

Я имею в виду, ваш аргумент вполне в рамках классической, так что он не может быть верным

Почему в рамках классической? Все попадающиеся шары множества $M$ зеленые. Предложение

Sinoid в сообщении #1222347 писал(а):

"Все шары множества $M$ зеленого цвета"

стало истинным? Бесконечные множества вполне допустимы в интуиционистических рассуждениях (тот же натуральный ряд).

[arseniiv]

Формализуйте, что такое «попадающиеся».

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1222562 писал(а):

Формализуйте, что такое «попадающиеся».

А все понятия так и так не формализуешь, вы сами это сказали в одной из моих тем. Ладно, давайте не будем углубляться в постороннюю тему. Мне с вами и тягаться-то не под силу: у вас кругозор на порядок шире. Я этот пример задумывал для личного пользования. В конце-концов и изучение теории множеств лучше начинать с более простой, наивной. А, кстати, а теория вероятностей формализирована или нет? Если да, то можно позаимствовать оттуда.
Так. Вернемся к обсуждению этой темы (сейчас хоть бы на это мозгов хватило у меня). Подведем итоги. Мы установили, что "$p$ истинно в мире $v$" означает, что в мире $v$ присутствует формула $p$. Это факт обозначается через $v\Vdash p$. При этом, ввиду требований, предъявляемых к $\Vdash$, формула $p$ будет присутствовать, или, что то же самое, будет истинна и в мирах, больших мира $v$. Предложение "$p$ ложно в мире $v$" означает, что в мире $v$ отсутствует формула "$p$. mihaild обозначил это через

mihaild в сообщении #1222542 писал(а):

$u \nVdash p$

В книге для это случая нет никакого обозначения. То, что формула $p$ ложна (отсутствует) в мире $v$ еще не означает, что она ложна в каком-нибудь мире, большем мира $v$ (ложность, в отличии от истинности, не является понятием наследственным). Однако, для того случая, когда формула $p$ ложна (отсутствует) в мирах, не меньших мира $v$, в книге введено обозначение $v\Vdash\neg p$. В обсуждаемой нами книге есть такое место:

получается, что без предположения об истинности $p$ только во втором мире формула $\neg p$ могла бы в каком-нибудь мире быть истинна.

Цитата:

... Пусть $p$ истинна только во втором мире. Тогда $\neg p$ не будет истинна нигде...

Истинность, как мы установили, означает присутствие. Тогда присутствие чего допускали возможным авторы, разрешая быть истинным $\neg p$, если $\neg p$ само по себе означает отсутствие в не меньших мирах?

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1222686 писал(а):

в мирах, не меньших мира $v$

Больше либо равных, а не "не меньших". Порядок на шкале не обязан быть линейным.

Sinoid в сообщении #1222686 писал(а):

введено обозначение $v\Vdash\neg p$

Не совсем так. Обозначение $v \Vdash A$ вводится для всех формул одинаково - и обозначает "в мире $v$ есть (истинна) формула $A$". Для атомарных формул (переменных) истинность их в мирах явно задается оценкой. Истинность не-атомарных формул в каждом мире определяется индуктивно.
Т.е. определяется понятие истинности формулы $\neg A$ в мире $u$, а дальше эта истинность записывается как $u \Vdash \neg A$ исходя из общих правил.

Sinoid в сообщении #1222686 писал(а):

получается, что без предположения об истинности $p$ только во втором мире формула $\neg p$ могла бы в каком-нибудь мире быть истинна

Ну да, истинность формулы в мире зависит от оценки. В классической логике так же: в одной интерпретации формула $p$ истинна, в другой - ложна.

Sinoid в сообщении #1222686 писал(а):

Тогда присутствие чего допускали возможным авторы, разрешая быть истинным $\neg p$, если $\neg p$ само по себе означает отсутствие в не меньших мирах?

Непонятно. Можете написать подробнее?
В книге вводится шкала из двух миров $\{u, v\}$, с порядком $u \geqslant v$. На этой шкале задается оценка: в мире $u$ есть переменная $p$, в мире $v$ нет вообще никаких переменных.
Всё, шкала и оценка полностью заданы, теперь мы можем установить истинность любой конкретной формулы в любом конкретном мире данной шкалы при данной оценке.
В частности, оказывается, что формула $\neg p$ не является истинной ни в каком мире, формула $p$ истинна в $u$, но не в $v$, как и $p \vee \neg p$.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1222693 писал(а):

Т.е. определяется понятие истинности формулы $\neg A$

Но истинность есть присутствие чего-то в мире. Присутствие чего в мире утверждается определением $\neg$ ?

-- 06.06.2017, 22:59 --

вот это я не мог понять, но сейчас, кажется, понял. Когда мы пишем $v\Vdash\neg A$, мы утверждаем, что в мире $v$ присутствует формула $\neg A$, смысл которой состоит в том, что в мирах, больших или равных $v$, отсутствует (ложна) формула $A$. Верно?

[mihaild]

Да, так (по модулю слова "смысл" - оно просто не используется; отсутствие формулы $A$ в достижимых мирах - это определение истинности $\neg A$).