задача: множество Кантора гомеоморфно ожерелью Антуана

[Marrow]

Помогите, пожалуйста, решить задачу по теории множеств: "Доказать, что множество Кантора гомеоморфно ожерелью Антуана."

[luitzen]

Точек в множестве Кантора и в ожерелье Антуана поровну. Ни в том, ни в другом, вроде бы, нет связных подмножеств, отличных от точки. По-моему, этого достаточно.

Познания об ожерелье Антуана почерпнул здесь: Болтянский В.Г., Ефремович В.А. — Наглядная топология.

[bot]

luitzen писал(а):

Ни в том, ни в другом, вроде бы, нет связных подмножеств, отличных от точки. По-моему, этого достаточно.

В множестве $\mathbb{Q}$ нет связных подмножеств, отличных от точки, в множестве $\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \ - $ тоже.

[Профессор Снэйп]

bot писал(а):

luitzen писал(а):

Ни в том, ни в другом, вроде бы, нет связных подмножеств, отличных от точки. По-моему, этого достаточно.

В множестве $\mathbb{Q}$ нет связных подмножеств, отличных от точки, в множестве $\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \ - $ тоже.

Так здесь же мощности разные. А luitzen отметил совпадение мощностей в исходном примере. Вы его почему-то не полностью цитируете.

По-моему, так эта задача не по теории множеств, а по общей топологии. Название темы слегка дезинформирует.

P. S. Объясните, что такое ожерелье Антуана. Я, к стыду своему, не знаю

[Someone]

luitzen писал(а):

Точек в множестве Кантора и в ожерелье Антуана поровну. Ни в том, ни в другом, вроде бы, нет связных подмножеств, отличных от точки. По-моему, этого достаточно.

Топологическая характеристика канторова совершенного множества: хаусдорфово, счётного веса, компактное, нульмерное, совершенное (отсутствуют изолированные точки).

[luitzen]

luitzen писал(а):

Точек в множестве Кантора и в ожерелье Антуана поровну. Ни в том, ни в другом, вроде бы, нет связных подмножеств, отличных от точки. По-моему, этого достаточно.

Вот что имелось в виду. Со взаимной однозначностью отображения проблем нет. Взаимную непрерывность доказывается следующим образом: если вы мне покажете открытое подмножество в ожерелье Антуана (а их там нет), то я вам покажу его открытый прообраз в канторовом множестве. И в обратную сторону так же.

В топологии я швах и буду благодарен, если укажут, в чём неправ.

Профессор Снэйп писал(а):

P. S. Объясните, что такое ожерелье Антуана.

Профессор Снэйп, во втором сообщении этой темы есть ссылка на книжку, где на с. 85 говорится об антуановском множестве А*. Сам только из неё и узнал о нём.

[Someone]

luitzen писал(а):

В топологии я швах и буду благодарен, если укажут, в чём неправ.

В том, что в этих топологических пространствах нет открытых множеств. Если имеется некоторое подмножество топологического пространства, то открытыми множествами в нём считаются пересечения открытых множеств заданного топологического пространства с этим подмножеством. Так что открытых множеств там тьма (континуум).

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

luitzen писал(а):

В топологии я швах и буду благодарен, если укажут, в чём неправ.

В том, что в этих топологических пространствах нет открытых множеств.

Ну да. В любом топологическом пространстве есть как минимум два открытых множества: всё пространство и пустое множество. Это даже я знаю

[Marrow]

Уважаемые математики!
Не могли бы вы объяснить сам ход доказательства, а то я что-то никак не пойму. Есть только факты: а как это к задаче отнести не знаю
За "разжевывание" буду очень благодарен. Уж очень хочется понять решение задачи!