Математический и пружинный маятники

[h37kkx32]

Хотелось бы как можно плавнее перейти от формул движения по окружности к формулам гармонических колебаний. На что мне следует обратить внимание и какие доказательства прочитать, чтобы легче понять и запомнить формулы колебаний? При условии, что формулы движения по окружности я понял. Если вам нужно мое понимание - оставляю его обрывки в свитках, но лучше не читать, ведь это обрывки и только запутаетесь.

$\newenvironment{comment}{}{} \begin{comment} Формулы движения по окружности. \end{comment}$ $a=\frac{v^2}{R}=wR^2 \quad T=\frac{1}{\nu} \quad \nu=\frac{1}{T} \quad w=\frac{2\pi}{T}

$\newenvironment{comment}{}{} \begin{comment} Формулы гармонических колебаний. Математ.:\qquad Пружинный: \end{comment}$ $a=- \frac{g}{l} \cdot x \qquad a=- \frac{k}{m} \cdot x $ $w=2\pi\sqrt{\frac{g}{l}}\qquad w=2\pi\sqrt{\frac{k}{m}}$ $T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

(Что я об этом думаю)

Я замечаю схожесть формул и их отличия. Но не очень понимаю, какую роль здесь играют эти величины - ускорение свободного падения с длиной маятника и коэффициент упругости с массой. Но понимаю почему у ускорения знак минус, и почему ускорение прямо пропорционально смещению, ведь со смещением меняется угол и равнодействующая силы тяжести и натяжения нити. Знак минуса потому что равнодействующая сил направлена в противоположную смещению сторону.

\newenvironment{comment}{}{} \begin{comment} Далее $A=x_0$: \end{comment}$

(Амплитуда)

Амплитуда колебания - выражается в метрах, максимальное смещение относительно положения равновесия. Максимальное в том смысле, что оно туда больше не вернется в случае если колебания являются свободными (энергию маятнику передали однократно).

$ \newenvironment{comment}{}{} \begin{comment} При условии x_0\ne 0:\quad x_0=0: \end{comment}$ $x=x_0\cos(wt+\varphi_0) \qquad x=x_0\sin(wt+$\varphi_0$) $

(Смещение)

Здесь x - смещение в определенный момент времени, относительно положения равновесия. То, что мы прибавляем в скобках к wt называется фазой колебания, поскольку она тоже равна wt, я не понимаю смысл того, что внутри этих скобок. Единственное, что понятно - оба wt это углы, ведь они стоят под тригонометрической функцией. Еще знаю что каждой фазе колебаний принадлежит свой особый набор величин скорости, ускорения и смещения. Для меня это значит, что фазы колебаний не повторяются в процессе свободных колебаний.

$ \newenvironment{comment}{}{} \begin{comment} Где $\varphi_0$=$wt$. \end{comment}$ $w=2\pi\sqrt{\frac{2\pi}{T}}$

$a=\dot{v}=\ddot{x}$ $v_0=x_0w$ $a_0=x_0w^2

(Мои соображения)

Думаю, что нет смысла учить формулу ускорения и скорости, достаточно знать, что это производые смещения по времени. Что касается амплитуды скорости и амплитуды ускорения - я так понимаю, это скорость и ускорение на начальном этапе колебания, когда ему только что сообщили энергию и смещение находится на амплитудном значении.

[DimaM]

h37kkx32 в сообщении #1222243 писал(а):

Хотелось бы как можно плавнее перейти от формул движения по окружности к формулам гармонических колебаний.

Движение по окружности $x=A\cos(\omega t+\varphi_0)$. Ускорение $a=\ddot{x}=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi_0)$.
То есть получаем как раз уравнение колебаний $\ddot{x}+\omega^2x=0$.
Одинаковые уравнения - одинаковые решения.

h37kkx32 в сообщении #1222243 писал(а):

На что мне следует обратить внимание

Нужно делать все аккуратно. Скажем, в последних двух формулах у вас неправильный знак. Это получаются не колебания, а неустойчивость.
Я вам, кажется, давал ссылку на лекции - невредно почитать там главу про колебания.

[Aritaborian]

h37kkx32 в сообщении #1222243 писал(а):

Амплитуда колебания - выражается в метрах, максимальное смещение относительно положения равновесия. Максимальное в том смысле, что оно туда больше не вернется в случае если колебания являются свободными (энергию маятнику передали однократно).

Почему не вернётся?

[DimaM]

Такое еще наблюдение: как только вы получили уравнение движение в виде

$$a\ddot{\xi}+b\xi=0$$

или уравнение энергии в виде

$$\dfrac{a\dot{\xi}^2}{2}+\dfrac{b\xi^2}{2}=E,$$

можно сразу заключить, что движение будет гармоническим с частотой $\omega=\sqrt{b/a}$.

[h37kkx32]

DimaM в сообщении #1222250 писал(а):

Я вам, кажется, давал ссылку на лекции - невредно почитать там главу про колебания.

Там много того, что придется прочитать прежде чем перейти к колебаниям, как мне показалось. Потому что обьяснение строится на том, чего я пока не очень понимаю. С удовольствием прочитаю все труды Ершова, сразу после ЕГЭ. Но сейчас нету времени вникать, к сожалению, осталось 15 дней а я только заканчиваю механику изучать.

Про последние 2 формулы - извиняюсь, торопился и забыл минус написать.

Про все остальное - сейчас буду разбираться, спасибо.

[DimaM]

h37kkx32 в сообщении #1222255 писал(а):

Там много того, что придется прочитать прежде чем перейти к колебаниям, как мне показалось. Потому что обьяснение строится на том, чего я пока не очень понимаю.

Ну да, читать следует с начала.

h37kkx32 в сообщении #1222255 писал(а):

Но сейчас нету времени вникать, к сожалению, осталось 15 дней а я только заканчиваю механику изучать.

Пожалуй, за теорию браться уже поздно. Нужно брать типовые варианты и решать-решать-решать. Лучше с репетитором, самостоятельно за такой короткий срок очень трудно освоить.

[h37kkx32]

Ну электродинамику я тоже немного обошел, потом к ней вернусь уже намного быстрее, я думаю что успею баллов на 60 подготовиться. Ничего страшного.

-- 05.06.2017, 11:26 --

h37kkx32 в сообщении #1222255 писал(а):

Про последние 2 формулы - извиняюсь, торопился и забыл минус написать.

А нет, померещилось. Все таки и в учебнике и у меня в конспекте написано именно так. Уверены что там ошибка?

[Pphantom]

h37kkx32 в сообщении #1222260 писал(а):

А нет, померещилось. Все таки и в учебнике и у меня в конспекте написано именно так. Уверены что там ошибка?

По-видимому, это амплитуды изменения скорости и ускорения (ну или максимальные их значения), соответственно, они должны быть положительными, и тогда все правильно, минусы не нужны.

Но вообще полезно не только писать формулы, но и расшифровывать обозначения. И не только в сообщениях на форуме.

[h37kkx32]

Именно, амплитуда ускорения и скорости. Еще я заметил, что формулу периода я забыл поправить у пружинного маятника.