Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)

[MFA]

\left\{\!\begin{aligned} & u
Далее из граничных условий получаем:
\begin{vmatrix} 1 - \alpha {e^{(y|2)} } & 1 - \alpha e^{(-y|2)} \\ e^{(y)} - \beta e^{(y|2)} & e^{(-y)} - \beta e^{(-y|2)} \end{vmatrix} = 0
где \mathsf{y} = \sqrt{- \lambda }
после преобразований получаем: e^{y} - ( \alpha + \beta )e^{y|2} + 1 = 0
решаем квадратное уравнение, для удобства обозначим z=e^{y|2}
\mathsf{z} 1 = \frac{ \alpha + \beta }{ 2 } + \sqrt{\frac{ (\alpha + \beta)^2 }{ 4 } - 1 }
\mathsf{z} 2 = \frac{ \alpha + \beta }{ 2 } - \sqrt{\frac{ (\alpha + \beta)^2 }{ 4 } - 1 }
далее мы получаем восемь случаев зависимости корня от \alpha и \beta :
1) \alpha + \beta > 0 = > \mathsf{e} ^{ \mathsf{y} } = \frac{ \alpha + \beta }{ 2 } \pm \sqrt{\frac{ (\alpha + \beta)^2 }{ 4 }-1 }
\mathsf{y} = 2\ln{(-||-)}
\lambda = - 4(\ln{(-||-)}) ^{2} ,(Тут мой первый вопрос правильно ли я нашел \lambda ?)
где (-||-) = \frac{ \alpha + \beta }{ 2 } \pm \sqrt{\frac{ (\alpha + \beta)^2 }{ 4 }-1 }
2) 0 < \alpha + \beta < 2
z1,2 = \frac{ \alpha + \beta }{ 2 } \pm \sqrt{\frac{ (\alpha + \beta)^2 }{ 4 }-1 }
где \sqrt{\frac{ (\alpha + \beta)^2 }{ 4 }-1 } < 0 следовательно комплексный корень и дальше я уже не знаю как делать этот пример.
Подскажите как дальше двигаться, как оформлять решение с комплексными корнями где есть мнимая и действительная часть? И в самом конце как находить собственную функцию?

-- 03.06.2017, 12:28 --

Найти собственные значение и собственные вектора.

[sergei1961]

Мне кажется, что можно свести к обычной двухточечной краевой задаче с условием вида $u(0)=c u(1)$, если приравнять выражения для $u(1/2)$. Будет легче, и она везде решена.

[Red_Herring]

1)  Используйте нормальные обозначения
2) Задача простая, но надо не забывать, что собственные значения могут быть и комплексными

3) Задача неестественная

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1221752 писал(а):

Мне кажется, что можно свести к обычной двухточечной краевой задаче с условием вида $u(0)=c u(1)$, если приравнять выражения для $u(1/2)$.

Легче оказаться не может, т.к. требование в средней точке ниоткуда не следует, т.е. оно хоть в каком-то виде, но останется.

[sergei1961]

Red_Herring - насчёт неестественности не уверен, так как есть такой класс - многоточечные краевые задачи, это трёхточечная. Я про них мало знаю, но это целый раздел со своими специализированными монографиями и обширной литературой.

[Red_Herring]

sergei1961 в сообщении #1222026 писал(а):

так как есть такой класс - многоточечные краевые задачи, это трёхточечная. Я про них мало знаю, но это целый раздел со своими специализированными монографиями и обширной литературой.

Ну и что? Есть куча противоестественных областей.
Да, есть многоточечные краевые задачи, но если говорить о естественных таких задачах, то обычно они получаются так: уравнения удовлетворяются между точками, а в точках условия склейки какого-либо типа. Ну м.б. периодичность или квазипериодичность в крайних точках.

[sergei1961]

Для меня естественные. Да и зря Вы в очередной раз так безапелляционны в области, которой не занимаетесь, судя по всему. Соединяет непрерывный дифур, который получается из абстракций, с реальной возможностью что-то замерить у решения только в конечном числе точек.

[ewert]

Так ведь задачка-то явно игрушечная, в смысле учебная. И как таковая -- неестественная безусловно. Ибо если за классическими З.Ш.-Л. всегда в учебных курсах стоит некая теория, какая бы даже ни была она куцей и урезанной -- за этой никакого вменяемого общего курса не проглядывает.

[Red_Herring]

sergei1961 в сообщении #1222038 писал(а):

с реальной возможностью что-то замерить у решения только в конечном числе точек.

И откуда условия $u(a)=\alpha u(c), u(b)=\beta u(c)$?

ewert в сообщении #1222050 писал(а):

Так ведь задачка-то явно игрушечная, в смысле учебная.

И достоинство одно: явно решаемая.

[ewert]

(Оффтоп)

Ну и уж до кучи: при чём здесь вообще Штурм с Лиувиллем, если они даже не муж с женой?...

[sergei1961]

Написаны на одной башне, сам видел. Это ближе мужа с женой.

[ewert]

(Оффтоп)

sergei1961 в сообщении #1222061 писал(а):

Написаны на одной башне, сам видел.

Это на той башне, где штаб-квартира производителей кальсон?.. -- совершенно не исключаю.

[sergei1961]

Про кальсоны не знаю, видел на Эйфелевой. До этого думал, что Штурм немец, а не француз.

[ewert]

Так, ув. sergei1961. Давайте дадим высказаться наконец топикстартеру. А то такое ощущение, что мы своими выпендриваниями его напрочь забили.

В этой ветке единственное вменяемое высказывание было, как мне кажется, это:

Red_Herring в сообщении #1221770 писал(а):

2) Задача простая, но надо не забывать, что собственные значения могут быть и комплексными

Ну и предыдущий пункт тоже, но он носил чисто технический характер.

[MFA]

Кто нибудь может дать конкретные ответы?
Правильно ли я веду решение?
Как работать с комплексными собственными значениями? Какие примерно будут получаться собственные функции?