численные методы для траекторий хаотических систем

[Pphantom]

Igor_Dmitriev в сообщении #1221561 писал(а):

Предыдущее было связано с неравномерными интервалами.

Вообще-то уже давно в теме было сказано, что

Евгений Машеров в сообщении #1219331 писал(а):

хаотические системы это такие системы, в которых малые начальные возмущения будут приводить к большим отклонениям всегда, в силу их природы, а не несовершенства методов расчёта.

Соответственно, пока Вы занимаетесь численным решением системы с одним комплектом начальных условий, никакие получаемые результаты не могут являться ни подтверждением хаотичности, ни подтверждением ее отсутствия. Какой-то смысл (все равно, правда, не доказательный, а в качестве намека) подобные рассуждения могут иметь, если система стационарна (когда поведение не должно зависеть от выбора начального $t$), однако и в этом случае требуется показать, что Вы видимое различное дальнейшее поведение системы при "одном" комплекте $(x, \dot x)$ получаете не из-за вычислительных погрешностей или дискретности картинки.

[Igor_Dmitriev]

Тогда непонятно. Я написал код для осцилятора Дуффинга $\ddot{x}+x+x^3=0$

clear all; clc;
tic;
f = @(t,x) [-x(2)-x(2).^3; x(1); x(2)];      
[t1,x1] = ode45(f, [0, 1e4], [1.000001 1.000001 1.000001]);
[t2,x2] = ode45(f, [0, 1e4], [1.000002 1.000002 1.000002]);
[x1(end, :) x2(end, :)]
toc;
return;

Получил ответ

ans =

    3.1095   -0.7991   -0.7423   -0.3497    1.2956    0.0744

Такие же сильно отличающиеся друг от друга результаты я получил для $\ddot{x}+x+x^3=\cos(110 \cdot t)$

Следовательно, обе системы хаотические

[Pphantom]

Igor_Dmitriev в сообщении #1221571 писал(а):

Тогда непонятно. Я написал код для осцилятора Дуффинга $\ddot{x}+x+x^3=0$

А я взял Ваш код и запустил его в GNU Octave 4.2.1 (это, если не вдаваться в технические подробности, открытая реализация Matlab). Результат выглядит так:

ans =

   1.45158  -0.91876   0.66347   1.45182  -0.91855   0.66334

И что теперь отсюда следует?

[Igor_Dmitriev]

Перезапустил код ещё раз, выдаются те же ответы, что и в прошлый раз.
Неужели косяк в Matlab или Octave?
Или просто Octave точнее.
Не могли бы Вы заменить

[t1,x1] = ode45(f, [0, 1e4], [1.000001 1.000001 1.000001]);
[t2,x2] = ode45(f, [0, 1e4], [1.000002 1.000002 1.000002]);

на

[t1,x1] = ode45(f, [0, 1e5], [1.000001 1.000001 1.000001]);
[t2,x2] = ode45(f, [0, 1e5], [1.000002 1.000002 1.000002]);

[Pphantom]

Igor_Dmitriev в сообщении #1221576 писал(а):

Не могли бы Вы заменить

Давайте попробуем...

Ждать, правда, пришлось долго, больше 20 минут.

ans =

  -1.43794   0.93021   1.84541  -1.43818   0.93001   1.84554

[Igor_Dmitriev]

Благодарю за выполнение.
Вот это да.
Не ожидал такого от Matlab, тем более в ode45.
Установлю-ка Octave.