численные методы для траекторий хаотических систем

[dsge]

А как само решение выглядит(не интеграл)?

[Igor_Dmitriev]

То, что вы спрашиваете $-$ это график_2.
Увеличенные части всех графиков во всех местах примерно одинаковые и напоминают синус.
Мой же вопрос состоит в том, почему график_1 похож на броуновский процесс.

Вот код

clear all; clc;
tic;
f = @(t,a) [a(2)-a(2).^3; a(1)];
[t,a] = ode45(f, [0, 1e5], [1 1]);                  % на одном из последних процессоров обрабатывается ~40 sec
plot(filter(1, [1 -1], a(:,2)-mean(a(:,2))));       % график_1
% plot(a(:,2));                                     % график_2
toc;
return;

график_1


увеличенная часть график_1





график_2


увеличенная часть график_2

[Евгений Машеров]

Может, потому, что это и есть броуновский процесс?

[Igor_Dmitriev]

Почему он броуновский? Решение $x$ (в коде $a$) содержит эллиптическую функциею. Интеграл от неё также периодический и конечный. Откуда берётся броуновский процесс: из-за ошибок округления?
Вот так выражается время $t$ через $x$, почему же

$$\int\limits_{0}^{y}xdt$$

похож на броуновское движение?

[dsge]

Вы почему-то прогоняете нелинейное решение через линейный фильтр, который не является интегралом. На выходе получается черте-что.

[Igor_Dmitriev]

Кстати, возможно. Промежутки же неравномерные.
Только вот почему-то кажется, что даже если промежутки у $t$ были бы равномерные $-$ всё равно бы возник график, похожий на броуновское движение.

Цитата:

который не является интегралом

При равномерных промежутках является. Приближённо, конечно. Для линейного фильтра получаем
$y_k = \sum\limits_{1}^{k}(x_k-\overline{x})$

-- 01.06.2017, 19:35 --

Кажется, ошибка найдена, похоже, дело действительно в неравномерных промежутках.
Здесь 3-я переменная уже будет интегралом

$$\int\limits_{0}^{y}xdt$$

Только вот всё равно непонятно, почему при замене равномерных промежутков неравномерными мы получаем нечто, похожее на броуновское движение.

clear all; clc;
tic;
f = @(t,x) [x(2)-x(2).^3; x(1); x(2)];
[t,x] = ode45(f, [0, 1e5], [1 1 0]);
% plot(filter(1, [1 -1], x(:,2)-mean(x(:,2))));
% plot(x(:,2));
plot(x(:,3));
toc;
return;
return;

[Евгений Машеров]

Потому, что у Вас среднее значение функции под интегралом ноль (благодаря вычитанию среднего), а отдельные значения, из-за неравномерности ли отсчётов, или из-за вычислительных погрешностей, от нуля отличны. Поскольку отдельные отклонения закономерности не проявляют, можно их полагать независимыми случайными величинами с нулевым средним. И результат интегрирования оказывается броуновским движением.
Тут, конечно, интересно на масштаб взглянуть. Что-то мне сдаётся, что там не особо большие величины.

[dsge]

"Интеграл" получается скользящим и, если его период несоизмерим с периодом колебания решения, то в самом деле будет получаться что-то псевдо-случайное.

[Igor_Dmitriev]

$x_1$


$x_2$


$x_3$


$filter$


-- 01.06.2017, 20:22 --

Цитата:

"Интеграл" получается скользящим и, если его период несоизмерим с периодом колебания решения, то в самом деле будет получаться что-то псевдослучайное.

Я в курсе про несоизмеримость колебаний и про суммы независимых случайных чисел, только вот всё равно до сих не могу понять, почему 3-я и 4-я картинки так сильно отличаются друг от друга.
Как бы то ни было, спасибо вам за то, что обратили внимание на то, что $filter$ почему-то сильно далёк от интеграла.

[Aritaborian]

Igor_Dmitriev, в любом случае то, что вы получаете, это по сути артефакты, и они ну никак не связаны со свойствами самого ДУ.

[Igor_Dmitriev]

А если заменим уравнение на
$\ddot{x} + x + x^3 = \cos(111\cdot t)$
То это уже будет хаотическая траектория?
Судя по принципиально различным траекториям увеличенных частей $-$ да, но хотелось бы услышать мнение разбирающихся людей.
Вот графики
$x_1=\dot{x}$



$x_2=x$



$x_3=\int\limits_{}^{}xdt$

[Pphantom]

Igor_Dmitriev в сообщении #1221410 писал(а):

Судя по принципиально различным траекториям увеличенных частей $-$ да,

Может быть, Вы все-таки объясните, каким образом из различного внешнего вида картинок следует (или не следует) хаотичность?

[Igor_Dmitriev]

Я у публики спрашиваю, а заметка про внешний вид $-$ лишь предположение.

[Pphantom]

Igor_Dmitriev в сообщении #1221558 писал(а):

Я у публики спрашиваю, а заметка про внешний вид $-$ лишь предположение.

Ну так Вам уже несколько раз разными словами сказали, что это неверное предположение.

[Igor_Dmitriev]

Предыдущее было связано с неравномерными интервалами.
А разве $\cos(110\cdot t)$ не меняет картину?