Оценка интеграла.

[oniksofers]

Речь идет о следующем утверждении: Пусть $f(x)$ -- непрерывно дифференцируемая функция при $x\ge 0$. Тогда:

$$\left\lvert\sum\limits^{n}_{k=0}{f(k)}-\int\limits^{n}_{0}{f(x)dx}\right\rvert\le\int\limits^{n}_{0}{|f'(x)|dx}+|f(0)|$$

Говорится следующее:

$$\int\limits^{k}_{k-1}{f(t)}dt-f(k)=\int\limits^{k}_{k-1}{(f(t)-f(k))}dt$$

$$f(t)-f(k)=\int\limits^{t}_{k}{f'(t')dt'}$$

Следовательно:

$$\left\lvert\int\limits^{k}_{k-1}{(f(t)-f(k))}dt\right\rvert\le\int\limits^{k}_{k-1}{|f'(t)|dt}$$

И вот с этим следовательно проблемы. Я получаю вместо этого неравенства следующее:

$$\left\lvert\int\limits^{k}_{k-1}{(f(t)-f(k))}dt\right\rvert\le\int\limits^{k}_{k-1}{\left\lvert\int\limits^{t}_{k}{ f'(t')dt'} \right\rvert dt}$$

Как мне кажется, я не вижу чего-то совершенно простого и очевидного. Буду рад любой помощи.

[provincialka]

Может, по теореме о среднем? Вернее, по свойствам, связанным с неравенствами.
Подынтегральная функция не превосходит $\int\limits^{k}_{k-1}{|f'(t)|dt}$, а длина промежутка интегрирования равна 1.

[oniksofers]

provincialka в сообщении #1221434 писал(а):

Подынтегральная функция не превосходит $\int\limits^{k}_{k-1}{|f'(t)|dt}$, а длина промежутка интегрирования равна 1.

То есть вы предлагаете сказать, что:
$\int\limits^{k}_{k-1}{|\int\limits^{t}_{k}f'(t')dt'|dt}\le\int\limits^{k}_{k-1}{\int\limits^{t}_{k}|f'(t')|dt'dt}\le \int\limits^{k}_{k-1}{|f'(t)|dt}$

Если так, то откуда берется такая оценка?

[Slav-27]

oniksofers в сообщении #1221448 писал(а):

$\int\limits^{k}_{k-1}{|\int\limits^{t}_{k}f'(t')dt'|dt}\le\int\limits^{k}_{k-1}{\int\limits^{t}_{k}|f'(t')|dt'dt}\le \int\limits^{k}_{k-1}{|f'(t)|dt}$

1) Первое неравенство -- неверное. $t\leqslant k$ или $k\leqslant t$?
2) А давайте теперь там интегрировать не от $t$ до $k$, а от $k-1$ до $k$: что получится?

[oniksofers]

Slav-27 в сообщении #1221454 писал(а):

1) Первое неравенство -- неверное. $t\leqslant k$ или $k\leqslant t$?

$t\le k$

Slav-27 в сообщении #1221454 писал(а):

2) А давайте теперь там интегрировать не от $t$ до $k$, а от $k-1$ до $k$: что получится?

Ну тогда внешний интеграл даст единицу и останется просто $\int\limits^{k}_{k-1}{f'(t')dt'}$

[Slav-27]

oniksofers в сообщении #1221461 писал(а):

$t\le k$

Значит, второй член процитированного мною неравенства надо поправить. А потом там же -- увеличить отрезок, по которому интегрируете. Что, в силу положительности неотрицательности подынтегральной функции, увеличит не уменьшит интеграл...

[oniksofers]

Slav-27 в сообщении #1221465 писал(а):

А потом там же -- увеличить отрезок, по которому интегрируете. Что, в силу положительности неотрицательности подынтегральной функции, увеличит не уменьшит интеграл...

$\int\limits^{k}_{k-1}{|\int\limits^{t}_{k}f'(t')dt'|dt}\le\int\limits^{k}_{k-1}{\int\limits^{k}_{t}|f'(t')|dt'dt}\le \int\limits^{k}_{k-1}{\int\limits^{k}_{k-1}|f'(t')|dt'dt}\le \int\limits^{k}_{k-1}{|f'(t')|dt'}$

Так? Или чушь написал?

[Slav-27]

Правильно. Вы, вроде, это и хотели получить.

[oniksofers]

Slav-27 в сообщении #1221471 писал(а):

Правильно. Вы, вроде, это и хотели получить.

Так то да. Только вот момент с переходом к большему отрезку интегрирования кажется с одной стороны естественным, но есть ощущение, что я что-то не понимаю, можно ли как более подробно это дело оценить?

[Slav-27]

oniksofers
Что именно не понимаете?

Интеграл от положительной функции по отрезку -- площадь подграфика; отрезок больше -- и площадь больше. Строгое доказательство можно придумать или найти в книжке.

[oniksofers]

Slav-27 в сообщении #1221474 писал(а):

Что именно не понимаете?

Наивно кажется, что в двойном интеграле:
\int\limits^{k}_{k-1}{\int\limits^{k}_{t}|f'(t')|dt'dt}$
Мы суммируем при всех возможных $t$ из нашего интервала от $k-1$ до $k$, в.т.ч и при $t=k-1$, поэтому казалось бы это должно быть больше чем просто \int\limits^{k}_{k-1}{\int\limits^{k}_{k-1}|f'(t')|dt'dt}$
Наверное стоит действительно поискать где-нибудь подробное объяснение этого факта.

[Slav-27]

oniksofers
Не, не так.
$\int\limits^{k}_{t}|f'(t')|dt' \leqslant \int\limits^{k}_{k-1}|f'(t')|dt'$: это понятно почему?

Теперь обозначаем левый интеграл $F(t)$, а правый $G(t)$; имеем: $F(t)\leqslant G(t)$; надо доказать: $\int_{k-1}^k F(t) dt \leqslant \int_{k-1}^k G(t) dt$.

[oniksofers]

Slav-27 в сообщении #1221478 писал(а):

$\int\limits^{k}_{t}|f'(t')|dt' \geqslant \int\limits^{k}_{k-1}|f'(t')|dt'$: это понятно почему?

Хотя нет, что то не понимаю.

Slav-27 в сообщении #1221478 писал(а):

надо доказать

А как? Для положительных $F(t)$ и $G(t)$ данное утверждение выглядит очень правдоподобно. Переходить к интегральным суммам?

Вообще да, в таком виде, более понятно.

-- 02.06.2017, 13:06 --

Slav-27 в сообщении #1221478 писал(а):

$\int\limits^{k}_{t}|f'(t')|dt' \geqslant \int\limits^{k}_{k-1}|f'(t')|dt'$:

Разве если $t\in[k-1,k]$ это верное неравенство?

[Slav-27]

oniksofers в сообщении #1221479 писал(а):

Для положительных $F(t)$ и $G(t)$ данное утверждение выглядит очень правдоподобно.

Да хоть для каких. Ну например так: $G-F\geqslant 0$; докажем, что интеграл $\geqslant 0$. В интегральных суммах все члены $\geqslant 0$, значит и они сами, значит -- и предел...

В любом учебнике же написано. Вы их не читаете? А почему?

-- 02.06.2017, 13:08 --

oniksofers в сообщении #1221479 писал(а):

Разве если $t\in[k-1,k]$ это верное неравенство?

Там знаки все наоборот, сейчас исправлю.

[oniksofers]

Slav-27 в сообщении #1221483 писал(а):

Там знаки все наоборот, сейчас исправлю

Я уж испугался. Стало яснее, спасибо за помощь.