Метод определения количества решений диофантовых уравнений

[vicvolf]

Пусть дано алгебраическое диофантово уравнение с целочисленными коэффициентами от $k$ - переменных $n$ -ого порядка:
$F_n(x_1,...,x_k)=0$. (1)

Требуется определить количество целых решений уравнения (1) в гиперкубе со стороной $[-N,N]$, где $N$ - достаточно большое положительное число.

Так как значение $N$ - достаточно большое, то вероятность, что $i$- ая переменная $(1 \leq i \leq k)$ примет значение $x_i \geq 0$ равна $1/2$. Аналогично вероятность, что $x_i<0$ также равна $1/2$.

Тогда вероятность, что $m$ переменных из $k$ принимают неотрицательные значения равна:
$P(m)=C^k_m(1/2)^m(1/2)^{k-m}=(1/2)^k C^k_m$. (2)

В случае, если для каждого такого случая (2) известно количество решений уравнения (1) - $r_m(N)$, то среднее значение количества решений диофантового уравнения:
$M_k(N)=(1/2)^k \sum_{m=0}^{k} {C_k^m r_m(N)}$. (3)

В этом случае дисперсия значений количества решений диофантова уравнения равна:
$D_k(N)=(1/2)^k \sum_{m=0}^{k}C_k^mr_m^2(N)-(1/2)^{2k}[\sum_{m=0}^{k}C^k_m \cdot r_m(N)]^2$. (4)

Вопрос заключается в том, если отклонение от среднего значения (3) $\sigma_k(N)=\sqrt {D_K(N)}$ достаточно мало, то формулу (3) можно использовать для оценки количества целых решений диофантова уравнения (1)?