Пусть дано алгебраическое диофантово уравнение с целочисленными коэффициентами от

- переменных

-ого порядка:

. (1)
Требуется определить количество целых решений уравнения (1) в гиперкубе со стороной
![$[-N,N]$ $[-N,N]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/c/10ccd08a6f0b928850a1a35659a62cf582.png)
, где

- достаточно большое положительное число.
Так как значение

- достаточно большое, то вероятность, что

- ая переменная

примет значение

равна

. Аналогично вероятность, что

также равна

.
Тогда вероятность, что

переменных из

принимают неотрицательные значения равна:

. (2)
В случае, если для каждого такого случая (2) известно количество решений уравнения (1) -

, то среднее значение количества решений диофантового уравнения:

. (3)
В этом случае дисперсия значений количества решений диофантова уравнения равна:
![$D_k(N)=(1/2)^k \sum_{m=0}^{k}C_k^mr_m^2(N)-(1/2)^{2k}[\sum_{m=0}^{k}C^k_m \cdot r_m(N)]^2$ $D_k(N)=(1/2)^k \sum_{m=0}^{k}C_k^mr_m^2(N)-(1/2)^{2k}[\sum_{m=0}^{k}C^k_m \cdot r_m(N)]^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/8/7e855b3864fe93c6fa837137b034e13382.png)
. (4)
Вопрос заключается в том, если отклонение от среднего значения (3)

достаточно мало, то формулу (3) можно использовать для оценки количества целых решений диофантова уравнения (1)?