Ток в проводнике и Лоренцево сокращение

[Knight7]

Munin в сообщении #1217794 писал(а):

Серьёзные люди в этом месте упоминают дельта-функции

Я знаю о чем вы говорите, но мы их еще не проходили (первый курс). В любом случае, почитаю и посмотрю, что с этим делать. Спасибо.

realeugene в сообщении #1217777 писал(а):

Потому что все физические величины следует брать или нужное число раз дифференцируемыми, или работать с ними как с обобщёнными функциями.

Опять же, это вводный курс по электромагнетизму (все-таки Парселл а не ЛЛ). С обобщенными функциями пока не сталкивался.

Munin в сообщении #1217794 писал(а):

Но у вашего "профессора", видимо, не закрыт.

Да. Кстати, сегодня на сайте нашего курса опубликовали официальное решение (отчетливо видно как ваши замечания повлияли на ответ )

Цитата:

1. Чему равна линейная плотность зарядов в проводе до включения напряжения?
Ответ: Плотность электронов равна плотности положительных ионов, поскольку внутри проводника при стационарном состоянии, то есть после того как заряды пришли в покой, электрическое поле в проводнике равно нулю. Отсюда следует $\nabla\vec{E} =0$, а значит и заряд равен нулю.

2. Чему равна линейная плотность зарядов после включения напряжения?
Ответ: При стационарном токе $\nabla\vec{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$, поскольку заряды не скапливаются внутри проводника (замечание - это не так для поверхности проводника, где скапливаются заряды, которые создают электрическое поле; но если длина проводника гораздо больше его радиуса, то можно пренебречь этими зарядами). Отсюда следует $\vec{J}=\sigma \vec{E}$ и $\nabla \vec{E}=0=\rho/\varepsilon_0$ а значит общий заряд в проводнике равен нулю, даже когда в проводнике течет ток. Поэтому, плотность электронов в СО лаборатории равна плотности ионов (точно так же, как было до подачи напряжения).

3. Чему равна сила действующая на пробный заряд находящийся на расстоянии $r$ от провода, после включения напряжения?
Ответ: Из предыдущего пункта следует, что сила действующая на заряд в СО лаборатории равна нулю (вне зависимости от того, есть ли напряжение).

(Дальше есть еще несколько пунктов, но они уже касаются описания ситуации в системе заряда движущегося рядом с проводом, что уже было разобрано в Парселле).

realeugene в сообщении #1217832 писал(а):

И раз электроны проводимости неподвижны, следовательно, именно в этой ИСО объём проводника электронейтрален, т. е. объёмная плотность заряда электронов равна объёмной плотности заряда ядер. И окружение провода чувствует нормальную к поверхности провода составляющую электрического поля, создаваемую именено поверхностными зарядами на границе проводника, но не зарядами в его объёме.

Насчет СО электронов он пишет следующее:

Цитата:

Вопрос другого студента: в системе покоя электрона плотность электронов меньше а плотность ионов больше чем в системе лаборатории. Как это сопоставить с тем, что в системе покоя электронов ток также стационарен (а значит там плотность заряда тоже должна быть равна нулю).

Ответ: Хороший вопрос. Во-первых, описание в системе электронов немного другое. В этой системе, плотность электронов меньше чем в с системе лаборатории. Это происходит из-за того, что в лаборатории, среднее расстояние между электронами в направлении провода должно быть меньше на фактор $\gamma_0$ чем в системе где они покоятся. Иными словами, в системе покоя электронов промежутки между электронами больше чем они были до включения напряжения (тогда системы лаборатории и электронов совпадали). С другой стороны, промежутки между положительными ионами меньше в системе электронов (на тот же фактор), поскольку они фиксированы в системе лаборатории. Именно потому, что плотность положительных зарядов больше в системе покоя электронов, расстояние между электронами увеличивается в этой системе. Это, конечно, не полное объяснение. Но разница в том, что в системе покоя электронов, весь мир движется со скоростью $v_0$, включая кристаллическую решетку (вместе с ионами), электроды, поверхность проводника и т.д. Соответственно, как можно догадаться, это не симметричная ситуация. Ионы фиксированы, а электроны - нет, и именно это важно в данном случае.

[realeugene]

Knight7 в сообщении #1217870 писал(а):

Насчет СО электронов он пишет следующее:

Это "объяснение" ошибочное. Почему - я писал выше.

Кажется, ваш профессор так и не задумался об эффекте Холла в применении к внутренностям провода, по которому течёт ток. Но с учётом эффекта Холла закон Ома в дифференциальной форме $\vec{J}=\sigma \vec{E}$ очевидно некорректен. А последнее "объяснение" вообще бредовое.

Напишу прямо: ваш профессор не понимает эту задачу. Соболезную.

[realeugene]

Кстати, это неплохая задача, доступная первокурснику. Показать без использования СТО, что если в длинном однородном цилиндрическом проводнике, по которому течёт ток, концентрация свободных электронов не зависит от радиуса, то она равна $n=\gamma^2 n_0$, где $n_0$ - концентрация ионов (равно свободных электронов в проводнике без тока), а $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ - лоренц-фактор для скорости дрейфа этих свободных электронов.

Использование СТО, разумеется, позволяет сразу же написать эту формулу и, более того, предсказать, что эта концентрация, на самом деле, не зависит от радиуса и, даже, от формы сечения длинного однородного проводника.

[Munin]

Knight7 в сообщении #1217870 писал(а):

Опять же, это вводный курс по электромагнетизму (все-таки Парселл а не ЛЛ).

Ну, значит, вам не надо лезть в сложные задачи. И вашему "профессору" вас в них макать - тоже.

Knight7 в сообщении #1217870 писал(а):

Цитата:

3. Чему равна сила действующая на пробный заряд находящийся на расстоянии $r$ от провода, после включения напряжения?
Ответ: Из предыдущего пункта следует, что сила действующая на заряд в СО лаборатории равна нулю (вне зависимости от того, есть ли напряжение).

Сила на пробный заряд зависит от его скорости. Приведённый ответ - верен только для неподвижного пробного заряда.

[realeugene]

Munin в сообщении #1217913 писал(а):

Приведённый ответ - верен только для неподвижного пробного заряда.

Для неподвижного пробного заряда снаружи проводника этот ответ, строго говоря, тоже неверен, но по иной причине. Если есть напряжение между различными точками на поверхности проводника - то есть и ненулевая напряженность электрического поля снаружи проводника почти везде.

[Munin]

Точно!

[rustot]

Knight7 в сообщении #1217743 писал(а):

Не думаю, что стоит усложнять. Провод прямой и однородный, проводимость всюду одинакова (иначе бы указали). Хоть и не я формулировал задачу, но думаю, что происхождение эл. поля не имеет значения - просто дано, что оно постоянно везде вдоль провода. Как и почему - не важно. Точнее - тут важно то, что все электроны движутся с постоянной скоростью (по какой причине - не принципиально - эл. поле упомянуто, видимо, для наглядности).

Если провод с постоянным током прямолинейный бесконечный известных постоянного сечения и однородной проводимости, то для него можно рассчитать только производную линейной плотности, то есть на какую величину изменяется линейная плотность каждые 10 метров скажем. Эта величина будет зависеть от величины тока и сечения проводника. Сама же линейная плотность будет любой, от минус бесконечности до плюс бесконечности, задавшись какой то требуемой плотностью вы найдете участок проводника где она именно такая

Объемную же плотность заряда внутри проводника, за исключением поверхности, можно вычислить исходя из

$\sigma \vec{j} = \vec{F}/q = \vec{E} + \frac{\vec{v}}{c}\times\vec{B}$
$\sigma \nabla\vec{j} = 0 = \nabla(\vec{E}+\frac{\vec{v}}{c}\times\vec{B}) = 4\pi\rho + \nabla(\frac{\vec{v}}{c}\times\vec{B}) = 4\pi\rho - \frac{\vec{v}}{c}\nabla\times\vec{B} = 4\pi\rho - \frac{\vec{v}}{c}\frac{4\pi}{c}\vec{j}$
$\rho = \frac{\vec{v}}{c^2} \vec{j}$

если обозначить плотность движущейся части зарядов как $\rho_0$, то есть $\vec{j} = \rho_0 \vec{v}$, то

$\rho = \frac{j^2}{c^2 \rho_0} = \rho_0\frac{v^2}{c^2}$

скажем в меди плотность свободного заряда порядка -10кл/мм^3, значит в проводе сечением 1мм^2 при токе в 1А вклад в линейную плотность составит порядка $-10^{-21}$ Кл/м. порядка одного лишнего электрон на 150 метров провода. так что на фоне поверхностной плотности заряда это ловля блох

замечу что $\sigma \vec{j} = \vec{F}/q$ не работает если проводник движется, даже если он однороден. В этом случае зависимость плотности тока от приложенных к заряду сил не может быть выражена просто коэффициентом $\sigma$, поскольку зависит в этом случае от направления

Knight7 в сообщении #1217743 писал(а):

то градиент на поверхности не определен

Не "не определен" а бесконечно большой. И как результат бесконечна большая объемная плотность заряда на границе. Поэтому если не возиться с обобщенными функциями для описания бесконечно большой объемной плотности заряда, эту часть объема приходится выносить в отдельное слагаемое с описанием количества заряда через поверхностную плотность, она уже конечна. Ну или сразу все в линейную плотность, которая тоже конечна.

[realeugene]

rustot в сообщении #1217946 писал(а):

в каком нибудь полупроводнике с малой плотностью свободных носителей эта величина возможно была бы существенной

Всё равно, длина вдоль проводника, на которой падение напряжения из-за его сопротивления будет равно напряжению Холла между его центром и границей, составит доли ангстрема для полупроводников с высокой подвижностью зарядов, плотности тока 10 ампер на квадратный миллиметр и радиуса провода сантиметр. Скорости дрейфа зарядов слишком уж нерелятивистские. Так что, этот эффект представляет только лишь педагогический интерес в контексте связи электричества и СТО.

[Knight7]

rustot в сообщении #1217946 писал(а):

Сама же линейная плотность будет любой, от минус бесконечности до плюс бесконечности, задавшись какой то требуемой плотностью вы найдете участок проводника где она именно такая

Прошу прощения за задержку. Вот что у меня получилось:

$$\nabla \, \cdot\, \mathbf {J} =\nabla\, \cdot\, (\sigma\mathbf {E})=(\nabla\sigma)\,\cdot\,\mathbf{E}+\sigma(\nabla\, \cdot\,\mathbf{E}) =(\sigma\delta(r-R)\hat{\mathbf{r}})\, \cdot\,\mathbf{E}+\sigma\rho/\varepsilon_0=\sigma E_{\perp}\delta(r-R)+\sigma\rho/\varepsilon_0=0$$

Где $E_{\perp}$ компонент эл. поля в направлении радиуса (перпендикулярно поверхности проводника). Можно показать, что когда $r\ll L$, где $L$ - длина провода,

$$E_{\perp}(r)=\frac{Vz}{Lr \ln \left (R/L \right )}$$

($V$ - напряжение)
Отсюда:

$$\rho=- \varepsilon_0\frac{Vz}{Lr \ln \left (R/L \right )}\delta(r-R)$$

Интегрируя по цилиндрическому объему получаем

$$Q=- \pi z^2 \varepsilon_0 \frac{V}{L\ln \left (R/L \right )}$$

Поэтому линейная плотность равна

$$\lambda=\frac{dQ}{dz}=-2\pi z\varepsilon_0 \frac{V}{L\ln \left (R/L \right )} $$

Интересно, что когда $R\ll L$ то $\lambda=0$.

Есть ли ошибки? Спасибо.

[rustot]

Возьмем бесконечный круглый прямой провод радиусом $R$ с постоянным током $\vec{j} = \sigma \vec{E}$, расположенный вдоль $x$, с нулевым потенциалом в начале координат. Из соображений симметрии плотность заряда в нем должна меняться линейно $\lambda = k x$

Колечко заряда $dq = \lambda dx = k x dx$ по координате $x$ создает в начале координат поле $E_x = -dq \frac{x}{(x^2 + R^2)^{3/2}}$. Отрезок провода от $x=-x_0$ до $x=x_0$ создает поле

$E_x = - k \int_{-x_0}^{x_0} \frac{x^2}{(x^2 + R^2)^{3/2}} dx = 2(\operatorname{arsh}(\frac{x_0}{R}) - \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + R^2}})$

$k = -\frac{\sigma j_x}{2(\operatorname{arsh}(\frac{x_0}{R}) - \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + R^2}})}$

При $x_0\to\infty$ действительно $k\to 0$, но это не означает нулевую плотность заряда, длина провода растет быстрее чем убывает $k$. Плотность заряда на конце удлинняемого провода

$\lambda_0 = k x_0 = -\frac{\sigma j_x}{2(\operatorname{arsh}(\frac{x_0}{R})/x_0 - 1/\sqrt{x_0^2 + R^2})}$

при его удлиннении стремится к минус бесконечности. То есть на всем этом бесконечном проводе можно найти любую плотность заряда от минус до плюс бесконечности

[DimaM]

rustot в сообщении #1220819 писал(а):

Из соображений симметрии плотность заряда в нем должна меняться линейно $\lambda = k x$

Гм, если заряд распределен по поверхности, то поперечное поле снаружи вблизи от провода будет пропорционально $\lambda$, что выглядит несколько странно.

[rustot]

DimaM в сообщении #1220822 писал(а):

Гм, если заряд распределен по поверхности, то поперечное поле снаружи вблизи от провода будет пропорционально $\lambda$, что выглядит несколько странно.

и что же в этом странного? у него же потенциал линейно меняется вдоль длины

[DimaM]

rustot в сообщении #1220829 писал(а):

и что же в этом странного? у него же потенциал линейно меняется вдоль длины

Действительно.

[Knight7]

Спасибо.

rustot в сообщении #1220819 писал(а):

То есть на всем этом бесконечном проводе можно найти любую плотность заряда от минус до плюс бесконечности

Значит все таки, он был прав когда говорил, что

Цитата:

.. если провод достаточно длинный и если система в целом нейтральна, то можно найти такую область проводника где эта [линейная] плотность будет равна нулю.

[rustot]

Knight7 в сообщении #1221546 писал(а):

если провод достаточно длинный и если система в целом нейтральна, то можно найти такую область проводника где эта [линейная] плотность будет равна нулю.

Можно, там как раз будет нулевым потенциал проводника