На что похожа эта кривая?

[Rusit8800]

iakovk в сообщении #1220307 писал(а):

Отсюда, в частности, видно, что при изменении $n$ от $-\infty$ до $+\infty$ кривая проходит от одной вершины треугольника до другой.

Это действительно так.

iakovk в сообщении #1220307 писал(а):

Скорее всего это не гипербола.

Это не гипербола, я проверял.

iakovk в сообщении #1220307 писал(а):

у меня в Mathematica получились намного более простые формулы:

У вас хоть совпали уравнения прямых $B{S_3}$ и $C{S_2}$ с моими?

INGELRII в сообщении #1220399 писал(а):

Если на то пошло, у вас переменные $a,b,c$ и $k,l,m$ не являются независимыми друг от друга. Одну из троек можно выразить через другую. Это недочет или вас устраивает, как есть?

Вы правы. Тогда мне лучше тройку $k,l,m$ выразить через стороны треугольника $a,b,c$, чтобы было проще сопоставлять с барицентрическими координатами.

-- 31.05.2017, 12:21 --

$m$ легко найти: $m=c$, далее, решая систему

$$\left\{ \matrix {k^2} + {l^2} = {c^2} \hfill \cr ; {(k - l)^2} + {l^2} = {a^2} \hfill \cr \endmatrix \right.$$

только для положительных $k$ и $l$ получим:

$$k = \frac{{\sqrt { - {a^2} + 2\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}} + 4{c^2}} }}{{\sqrt 5 }}$$

$$l = \frac{{\left( {\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}} - {c^2}} \right)\sqrt { - {a^2} + 2\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}} + 4{c^2}} }}{{\sqrt 5 ({a^2} - 2{c^2})}}$$

-- 31.05.2017, 12:23 --

С учетом формул iakovk получим:

$$x = \frac{{\frac{{\sqrt { - {a^2} + 2\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}} + 4{c^2}} }}{{\sqrt 5 }}{b^n} + {c^{n + 1}}}}{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}$$

$$y = \frac{{\frac{{\left( {\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}} - {c^2}} \right)\sqrt { - {a^2} + 2\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}} + 4{c^2}} }}{{\sqrt 5 ({a^2} - 2{c^2})}}{b^n}}}{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}$$

Теперь все не так просто.

[iakovk]

Rusit8800 в сообщении #1220423 писал(а):

У вас хоть совпали уравнения прямых $B{S_3}$ и $C{S_2}$ с моими?

$C{S_2}$ совпало, $B{S_3}$ нет.
В

Rusit8800 в сообщении #1218742 писал(а):

$$lx + \left( {\frac{{m{c^n}}}{{{a^n} + {b^n}}} - k} \right)y - \frac{{ml{c^n}}}{{{a^n} + {c^n}}} = 0$$

вместо

$${\frac{{m{c^n}}}{{{a^n} + {b^n}}}}$$

должно быть, наверное,

$${\frac{{m{c^n}}}{{{a^n} + {c^n}}}}.$$

[Rusit8800]

Мда, тут я лоханулся...

-- 31.05.2017, 14:44 --

В принципе, здесь

$$x = \frac{{\frac{{\sqrt { - {a^2} + 2\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}} + 4{c^2}} }}{{\sqrt 5 }}{b^n} + {c^{n + 1}}}}{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}$$

$$y = \frac{{\frac{{\left( {\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}} - {c^2}} \right)\sqrt { - {a^2} + 2\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}} + 4{c^2}} }}{{\sqrt 5 ({a^2} - 2{c^2})}}{b^n}}}{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}$$

можно сделать замену:

$$x = \frac{{A{b^n} + {c^{n + 1}}}}{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}$$

$$y = \frac{{B{b^n}}}{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}$$

где $A$ и $B$ - некоторые большие параметры, не зависящие от $n$.
Далее, надо как-то выразить $n$, через $a,b,c,A,B$ из уравнения с $x$ и подставить в другое. Это случайно не через логарифмы делается(еще не проходил эту тему)?

-- 31.05.2017, 14:50 --

[INGELRII]

Ух-ха-ха! Веселые формулы. Не, так мы далеко не уедем. А от своих собственных формул, полученных Вами ранее, уже успели отречься? Вроде ж были уверены в них.

Ладно, возьмем пока за истину формулы iakovk, те что без корней (мне лень возиться с геометрией и проверять, правдивы ли они). Они суть рациональная параметризация. Домножаем их на знаменатель и переносим все члены в одну часть уравнения. Получаем систему двух полиномиальных уравнений. Добавляем к ним три формулы, связывающие переменные $a,b,c,k,l,m$. Они тоже полиномиальные уравнения.

Ну а дальше все проще простого! Нам хочется избавиться ото всех переменных, кроме $x,y$. В алгебраической геометрии для этого есть стандартная процедура: вводим для переменных лексикографическое отображение, скажем $a>b>c>k>l>m>x>y$, находим базис Грёбнера данной нам системы уравнений и по нему - исключающий идеал в поле $k[x,y]$. Это и будет уравнением интересующей нас кривой, выраженным не параметрически, а как равенство нулю некоего полинома от $x,y$.

Возможно, в моем изложении процедура выглядит сложной но на деле она куда проще. Ее можно провести хоть вручную, но это будет много муторных вычислений, в которых легко ошибиться. Тот же Maple с нею справляться умеет, но команд я не помню. Давайте дома посмотрю, что там выходит.

Еще один вопрос: Вы пытаетесь выразить $n$ через что-то там - зачем? Разве это не параметр, данный в условиях задачи?

[Rusit8800]

Maple выдает что-то такое:

n = RootOf(A*b^_Z-3*x*a^_Z+c^(_Z+1))

[INGELRII]

В переводе на человеческий: насяльника, уравнениема нерешаема никак.

[Rusit8800]

INGELRII в сообщении #1220499 писал(а):

Вы пытаетесь выразить $n$ через что-то там - зачем?

Следую совету Sinoid

Sinoid в сообщении #1218780 писал(а):

из параметрического уравнения одной координаты выражаете параметр и подставляете (параметр) в уравнение другой координаты.

чтобы из параметрического уравнения получить обычное.

-- 31.05.2017, 15:00 --

INGELRII в сообщении #1220499 писал(а):

Разве это не параметр, данный в условиях задачи?

Вообще, параметры это $a,b,c$, так как это некоторые "закрепленные" константы, а $n$- не закреплена - это аргумент функции, который пробегает всю вещественную прямую.

-- 31.05.2017, 15:01 --

INGELRII в сообщении #1220501 писал(а):

В переводе на человеческий: насяльника, уравнениема нерешаема никак.

Он почему то также и биквадратные уравнения решать не хочет.

[INGELRII]

Rusit8800 в сообщении #1220502 писал(а):

Вообще, параметры это $a,b,c$, так как это некоторые "закрепленные" константы, а $n$- не закреплена - это аргумент функции, который пробегает всю вещественную прямую.

Вау. В такой постановке задачу не решить. По крайней мере, я способа не вижу. Могу помочь только с целыми значениями, причем фиксированными.

[Rusit8800]

INGELRII в сообщении #1220516 писал(а):

В такой постановке задачу не решить.

А в какой постановке вы думали была эта задача? Может я выразился неправильно.