Сходимость операторов

[Henrylee]

Spook писал(а):

$= \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty} \{ \mathop {\sup} \limits_{x \in X, ||x||=1} ||A_nx-Ax||^2 \}=\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty} \{ \mathop {\sup} \limits_{x \in X, ||x||=1} ||0x||^2 \}= 0$

Весьма оптимистичный переход Это как так?

[Dan B-Yallay]

Henrylee писал(а):

Да вроде в задаче только сильную сходимость требовалось показать (то есть поточечную).

Разве сильная - не есть по норме? Поточечная - слабая вроде.

[Spook]

А,я значит неправильно сделал? Да, по вашему точно правильно получается.

[Henrylee]

Dan B-Yallay писал(а):

Henrylee писал(а):

Да вроде в задаче только сильную сходимость требовалось показать (то есть поточечную).

Разве сильная - не есть по норме? Поточечная - слабая вроде.

Да не, поточеченая сильная, а слабая это в смысле скалярного произведения.

[Dan B-Yallay]

$$....\le ||A_n||^2||x||^2 + ||A||^2||x||^2 - ||A_n|| \, ||A|| \, ||x^2|| - ||A|| \,||A_n||\, ||x^2||$$

И вот тут уже применяете сходимость $||A_n|| \rightarrow ||A||, ||A_n||^2 \rightarrow ||A ||^2$ учитывая чно норма $||x||=1$

[Henrylee]

Dan B-Yallay писал(а):

$$....\le ||A_n||^2||x||^2 + ||A||^2||x||^2 - ||A_n|| \, ||A|| \, ||x^2|| - ||A|| \,||A_n||\, ||x^2||$$

И вот тут уже применяете сходимость $||A_n|| \rightarrow ||A||, ||A_n||^2 \rightarrow ||A ||^2$ учитывая чно норма $||x||=1$

Э нет. Вот тут Вы как раз доказываете сильную из равномерной.

[Dan B-Yallay]

Henrylee писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Henrylee писал(а):

Да вроде в задаче только сильную сходимость требовалось показать (то есть поточечную).

Разве сильная - не есть по норме? Поточечная - слабая вроде.

Да не, поточеченая сильная, а слабая это в смысле скалярного произведения.

*************************
Доказать, что если последовательности ${A_n}$, ${A^2_n}$слабо сходятся к операторам ${A}$, ${A^2}$ соответсвенно, то $A_n\to A$ сильно.
*************************

Скалярного произведения чего?

[Spook]

Henrylee писал(а):

Spook писал(а):

$= \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty} \{ \mathop {\sup} \limits_{x \in X, ||x||=1} ||A_nx-Ax||^2 \}=\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty} \{ \mathop {\sup} \limits_{x \in X, ||x||=1} ||0x||^2 \}= 0$

Весьма оптимистичный переход Это как так?

Ну наверное так:

$\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty}||A_n - A||^2 = \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty} \{ \mathop {\sup} \limits_{x \in X, ||x||=1} ||A_nx-Ax||^2 \}=\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty} \{ \mathop {\sup} \limits_{x \in X, ||x||=1} ||(A_n-A)x||^2 \}= \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty} \{ \mathop {\sup} \limits_{x \in X, ||x||=1} ||0x||^2 \}=0$
Сильная то уже есть сходимость...

[Dan B-Yallay]

Доказать, что если последовательности ${A_n}$, ${A^2_n}$слабо сходятся к операторам ${A}$, ${A^2}$ соответсвенно, то $A_n\to A$ сильно.

Я понимаю это как из поточечной сходимости операторов ${A_n}$, ${A^2_n}$ к операторам ${A}$, ${A^2}$ надо вывести сходимость по норме.

[Spook]

Наверное стоит разобраться с определениями:
равномерная сходимость - $||A_n-A||\to 0$
сильная(на каждом векторе) - $||A_nx-Ax||\to 0$
слабая, если $A_nx\to Ax$

все согласны?

[ewert]

Spook писал(а):

Наверное стоит разобраться с определениями:
равномерная сходимость - $||A_n-A||\to 0$
сильная(на каждом векторе) - $||A_nx-Ax||\to 0$
слабая, если $A_nx\to Ax$

все согласны?

Добавлено спустя 1 минуту 16 секунд:

Spook писал(а):

Наверное стоит разобраться с определениями:
равномерная сходимость - $||A_n-A||\to 0$
сильная(на каждом векторе) - $||A_nx-Ax||\to 0$
слабая, если $A_nx\to Ax$

все согласны?

ну, третья-то строчка совсем легкомысленно из-под пальчиков-то выпорхнула

[Henrylee]

Dan B-Yallay писал(а):

Скалярного произведения чего?

В условии сказано, что $A$ самосопряженный оператор, то есть линейный непрерывный и действует в евклидовом пространстве (а там есть скалярное произведение)

Spook писал(а):

слабая, если $A_nx\to Ax$

все согласны?

Не согласны. Слабая это

$$ (A_nx,y)\to(Ax,y) $$

для любых $x,y$ из соотв. пространства.

[Spook]

ewert, почему же? Для гильбертовых пространств в частности, это означает, что для всех y $(Ay,Ax_n)\to(Ay,Ax)$, где $x_n\to x$.

Добавлено спустя 1 минуту 5 секунд:

долго записывал((

[Dan B-Yallay]

Henrylee писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Скалярного произведения чего?

В условии сказано, что $A$ самосопряженный оператор, то есть линейный непрерывный и действует в евклидовом пространстве (а там есть скалярное произведение)

Spook писал(а):

слабая, если $A_nx\to Ax$

все согласны?

Не согласны. Слабая это

$$ (A_nx,y)\to(Ax,y) $$

для любых $x,y$ из соотв. пространства.

Ну если так, то задача решена. Spook по крайней мере от меня Вы можете вздохнуть свободно.

[Spook]

Кстати, я думал что это эквивалентно...

Добавлено спустя 1 минуту 58 секунд:

Dan B-Yallay писал(а):

Ну если так, то задача решена. Spook по крайней мере от меня Вы можете вздохнуть свободно.

Да я за последний час уже несколько раз вздыхал свободно

Добавлено спустя 2 минуты 58 секунд:

Так доказывается тут равномерная сходимость или нет?
P.S. Просто интересно стало:)