Ковариантность, контравариантность и квантмех

[FeelUs]

$\hbar=c=1$

Если мы договоримся $p^\mu=(E,\vec p)$, $p_\mu=(E,-\vec p)$, то соответственно получается $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$.

Но мы знаем, что $E=i\frac{\partial}{\partial t}$, а $\vec p=-i\vec \nabla$ :

$$i\frac{\partial}{\partial t}e^{-iEt+i\vec p\vec x} = Ee^{-iEt+i\vec p\vec x}$$

$$-i\vec\nabla e^{-iEt+i\vec p\vec x} = \vec p e^{-iEt+i\vec p\vec x}$$

Мы хотим чтобы $p^\mu = i\partial^\mu$ :

$$i\partial^\mu e^{-ipx} = p^\mu e^{-ipx}$$

Но если мы договорились $p^\mu=(E,\vec p)$, $p_\mu=(E,-\vec p)$, то теперь уже получается $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},+i\vec \nabla)$.

Не кажется ли вам это странным? Возможны ли еще какие-нибудь места, где происходят такие странные изменения знаков?

[Slav-27]

FeelUs в сообщении #1220052 писал(а):

$i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$

$\nabla=\left(\dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}, \dfrac{\partial}{\partial z}\right)$ при замене координат "изменяется ковариантно", поэтому наоборот $\partial_\mu=\left(\dfrac{\partial}{\partial t}, \nabla\right)$.

[Munin]

FeelUs в сообщении #1220052 писал(а):

Мы хотим чтобы $p^\mu = i\partial^\mu$ :

Обычно полагают, что импульс - ковектор, и его индекс снизу. (Это наиболее естественно в квантовой механике, где импульс становится волновым вектором, с точностью до $\hbar,$ а волновой вектор есть ковектор.)
И кроме того, обычно оператор дифференцирования считают имеющим индекс снизу.

Так что, обычно в физике хотят $p_\mu=i\partial_\mu.$

[FeelUs]

Так кто нам мешает поднять или опустить индекс? $a_\mu=b_\mu$ и $a^\mu=b^\mu$ - это одно и то же.

Может вы имели ввиду "давайте договоримся $p_\mu=(E,\vec p)$, и $p^\mu=(E,-\vec p)$"?
Но тогда должно получаться $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$.

Но опять же, если мы хотим, $p_\mu=i\partial_\mu$ или $p^\mu=i\partial^\mu$, то должно быть $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},+i\vec \nabla)$.

[Munin]

FeelUs в сообщении #1220193 писал(а):

Может вы имели ввиду "давайте договоримся $p_\mu=(E,\vec p)$, и $p^\mu=(E,-\vec p)$"?
Но тогда должно получаться $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$.

Да, именно. И см. post1220080.html#p1220080

[FeelUs]

Но всё же, если $p_\mu=(E,\vec p)$, и $p^\mu=(E,-\vec p)$, то как правильно:

$i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$

или

$i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},+i\vec \nabla)$

?

[Munin]

Если выдумать свой собственный алфавит, и писать им, то как правильно?

[Erleker]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1220139 писал(а):

Обычно полагают, что импульс - ковектор

В ОТО это существенно.

[FeelUs]

Munin в сообщении #1220213 писал(а):

Если выдумать свой собственный алфавит, и писать им, то как правильно?

Вариантов алфавитов всего 4:

1) $p_\mu=(E,\vec p)$, и $p^\mu=(E,-\vec p)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$

2) $p_\mu=(E,\vec p)$, и $p^\mu=(E,-\vec p)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$

3) $p_\mu=(E,-\vec p)$, и $p^\mu=(E,\vec p)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$

4) $p_\mu=(E,-\vec p)$, и $p^\mu=(E,\vec p)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$

post1220080.html#p1220080 - утверждает что 1й или 3й

post1220199.html#p1220199 - утверждает что 1й, но тогда не выполнится $p_\mu=i\partial_\mu$ (в самом деле $i\vec \nabla e^{-iEt+i\vec p\vec x} \neq +\vec p e^{-iEt+i\vec p\vec x}$)

post1220233.html#p1220233 , ссылаясь на post1220139.html#p1220139 - утверждает что 1й или 2й

И так, какой из алфавитов общепринят?

[Cos(x-pi/2)]

В самом первом сообщении

FeelUs в сообщении #1220052 писал(а):

Если мы договоримся $p^\mu=(E,\vec p)$, $p_\mu=(E,-\vec p)$, то соответственно получается $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$

Уже здесь Вы себя запутали; потому что не "получается" этого вашего соответственно, а, как сразу пояснил Slav-27, получается $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i \nabla).$ (Если же Вы настаиваете, что "получается" именно ваш вариант, то хотя бы вкратце обоснуйте, как он "получается"; чтобы он действительно не выглядел выдумыванием алфавита).

Другими словами, если Вы в 4-векторе импульса $p^\mu=(E,\vec p)$ замените числовые величины операторами $E=i\frac{\partial}{\partial t}$, $\vec p=-i \nabla,$ то получите

$i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i \nabla),$ и, опуская индекс, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i \nabla).$

И всё, больше ничего не надо выдумывать, дальше всё получается "как хочется".

[svv]

Второй и четвёртый вариант отбрасываем, потому что иначе не получится правильное уравнение сохранения тока $\partial_{\mu} j^{\mu}=0$ (вспомните, в классическом уравнении непрерывности нет никаких минусов).

Показатель экспоненты, описывающей плоскую волну из вашего первого сообщения, равен инвариантной величине $-i p_{\mu}x^{\mu}=-i(Et-\mathbf p\cdot\mathbf x)$. Этому равенству противоречат первый и второй варианты.

[FeelUs]

Спасибо Sin(x) за разъяснение.
т.е. мы задаем например $p_\mu=(E,-\vec p)$, $p^\mu=(E,\vec p)$, и дальше чисто формально выводим
$x_\mu=(t, -\vec x)$, $x^\mu=(t, \vec x)$,
$j_\mu=(\rho, -\vec j)$, $j^\mu=(\rho, \vec j)$,
$A_\mu=(\varphi, -\vec A)$, $A^\mu=(\varphi, \vec A)$,
$i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t}, i\frac{\partial}{\partial\vec x})$, $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t}, -i\frac{\partial}{\partial\vec x})$,
а не так, что если верхний индекс, значит плюс, а если нижний, значит минус.
Да и в случае с производными x и t находятся в знаменателе.

Как мне кажется, если во всех теориях (но за ОТО ручаться не буду ) верхние индексы поменять на нижние и наоборот, то ничего не изменится. Например допустимо такое соглашение:
$p_\mu=(E,\vec p)$, $p^\mu=(E,-\vec p)$
$i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t}, -i\frac{\partial}{\partial\vec x})$, $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t}, i\frac{\partial}{\partial\vec x})$.
В связи с чем я не понял вот это:

svv в сообщении #1220303 писал(а):

Показатель экспоненты, описывающей плоскую волну из вашего первого сообщения, равен инвариантной величине $-i p_{\mu}x^{\mu}=-i(Et-\mathbf p\cdot\mathbf x)$. Этому равенству противоречат первый и второй варианты.

Если что, $p_\mu x^\mu = p^\mu x_\mu$.

[Pphantom]

FeelUs в сообщении #1220339 писал(а):

Спасибо Sin(x) за разъяснение.

FeelUs, замечание за искажение ника.

Помимо неуважения к собеседнику, это еще и технически неудобно - упоминание ника не фиксируется.

[svv]

FeelUs в сообщении #1220339 писал(а):

Если что, $p_\mu x^\mu = p^\mu x_\mu$.

Это также равно $g_{\mu\nu}p^\mu x^\nu$ (или, в ортонормированном базисе, $\eta_{\mu\nu}p^\mu x^\nu$). И что? Компоненты 4-вектора $x$ ведь заведомо используются контравариантные, причём $x^\mu=(t, \mathbf x)$ (иное соглашение оговаривалось бы). Значит, чтобы получить выражение $Et-\mathbf p\cdot\mathbf x$, надо либо подставить $p^\mu=(E, \mathbf p)$ в выражение $\eta_{\mu\nu}p^\mu x^\nu$, либо подставить $p_\mu=(E, -\mathbf p)$ в выражение $p_\mu x^\mu$. То и другое ведёт к третьему варианту.

-- Ср май 31, 2017 09:08:30 --

FeelUs в сообщении #1220339 писал(а):

Как мне кажется, если во всех теориях (но за ОТО ручаться не буду ) верхние индексы поменять на нижние и наоборот, то ничего не изменится.

Правильно, что не ручаетесь. (Разумеется, мы не говорим о тривиальной смене соглашения «контравариантные индексы сверху, ковариантные снизу» на противоположное.) Например, возьмём набор координат $x^\nu$, построим $dx^\nu$, затем определим $d x_\mu=g_{\mu\nu}d x^{\nu}$. Теперь попытаемся восстановить «ковариантные координаты» $x_\mu$ по их дифференциалам. Здесь нас ожидает сюрприз: в общем случае эта штука, $d x_\mu$, неинтегрируема, и никаких ковариантных координат не существует.

[Slav-27]

FeelUs в сообщении #1220193 писал(а):

Может вы имели ввиду "давайте договоримся $p_\mu=(E,\vec p)$, и $p^\mu=(E,-\vec p)$"?

Можно договориться называть 4-импульсом не то, что все называют 4-импульсом, а что-то другое. Но это нехорошо.

Пусть есть какая-то массивная частица. Что называют её 4-импульсом? Её 4-импульсом называют вектор, определённый в каждой точке мировой линии, который
1) касателен к мировой линии,
2) направлен в будущее,
3) его модуль в каждой точке равен массе частицы.
Пространственные компоненты таким образом определённого вектора (как можно проверить) составляют обычный нерелятивистский вектор импульса.

Это, по определению, 4-вектор, поэтому его (контравариантные) компоненты $(E, p_x, p_y, p_z)$ при заменах координат преобразуются как компоненты вектора.

Но тогда компоненты $(E, -p_x, -p_y, -p_z)$ не преобразуются как компоненты вектора. (Например, пусть речь о свободной массивной частице: перейдём к системе отсчёта, в которой она покоится. Тогда перемена знака пространственной части не меняет 4-импульс, потому что пространственная часть 0. А если поменять в системе отсчёта, в которой она движется, то 4-импульс меняется.) Или то же самое по-другому: если мы в какой-то системе отсчёта поменяли $(E, p_x, p_y, p_z)$ на $(E, -p_x, -p_y, -p_z)$, то в другой системе отсчёта придётся уже менять $(E', p'_x, p'_y, p'_z)$ не на $(E', -p'_x, -p'_y, -p'_z)$, а по-другому: иначе эта штука перестанет быть вектором.

Поэтому:

FeelUs в сообщении #1220193 писал(а):

давайте договоримся $p_\mu=(E,\vec p)$, и $p^\mu=(E,-\vec p)$

Так договариваться неправильно.

FeelUs в сообщении #1220256 писал(а):

3) $p_\mu=(E,-\vec p)$, и $p^\mu=(E,\vec p)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$

Правильно здесь.