2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ковариантность, контравариантность и квантмех
Сообщение30.05.2017, 13:07 


10/11/11
81
$\hbar=c=1$

Если мы договоримся $p^\mu=(E,\vec p)$, $p_\mu=(E,-\vec p)$, то соответственно получается $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$.

Но мы знаем, что $E=i\frac{\partial}{\partial t}$, а $\vec p=-i\vec \nabla$ :
$$i\frac{\partial}{\partial t}e^{-iEt+i\vec p\vec x} = Ee^{-iEt+i\vec p\vec x}$$
$$-i\vec\nabla e^{-iEt+i\vec p\vec x} = \vec p e^{-iEt+i\vec p\vec x}$$

Мы хотим чтобы $p^\mu = i\partial^\mu$ :
$$i\partial^\mu e^{-ipx} = p^\mu e^{-ipx}$$

Но если мы договорились $p^\mu=(E,\vec p)$, $p_\mu=(E,-\vec p)$, то теперь уже получается $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},+i\vec \nabla)$.

Не кажется ли вам это странным? Возможны ли еще какие-нибудь места, где происходят такие странные изменения знаков?

 Профиль  
                  
 
 Re: ковариантность, контравариантность и квантмех
Сообщение30.05.2017, 15:13 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
FeelUs в сообщении #1220052 писал(а):
$i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$
$\nabla=\left(\dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}, \dfrac{\partial}{\partial z}\right)$ при замене координат "изменяется ковариантно", поэтому наоборот $\partial_\mu=\left(\dfrac{\partial}{\partial t}, \nabla\right)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ковариантность, контравариантность и квантмех
Сообщение30.05.2017, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
FeelUs в сообщении #1220052 писал(а):
Мы хотим чтобы $p^\mu = i\partial^\mu$ :

Обычно полагают, что импульс - ковектор, и его индекс снизу. (Это наиболее естественно в квантовой механике, где импульс становится волновым вектором, с точностью до $\hbar,$ а волновой вектор есть ковектор.)
И кроме того, обычно оператор дифференцирования считают имеющим индекс снизу.

Так что, обычно в физике хотят $p_\mu=i\partial_\mu.$

 Профиль  
                  
 
 Re: ковариантность, контравариантность и квантмех
Сообщение30.05.2017, 19:43 


10/11/11
81
Так кто нам мешает поднять или опустить индекс? $a_\mu=b_\mu$ и $a^\mu=b^\mu$ - это одно и то же.

Может вы имели ввиду "давайте договоримся $p_\mu=(E,\vec p)$, и $p^\mu=(E,-\vec p)$"?
Но тогда должно получаться $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$.

Но опять же, если мы хотим, $p_\mu=i\partial_\mu$ или $p^\mu=i\partial^\mu$, то должно быть $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},+i\vec \nabla)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ковариантность, контравариантность и квантмех
Сообщение30.05.2017, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
FeelUs в сообщении #1220193 писал(а):
Может вы имели ввиду "давайте договоримся $p_\mu=(E,\vec p)$, и $p^\mu=(E,-\vec p)$"?
Но тогда должно получаться $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$.

Да, именно. И см. post1220080.html#p1220080

 Профиль  
                  
 
 Re: ковариантность, контравариантность и квантмех
Сообщение30.05.2017, 20:23 


10/11/11
81
Но всё же, если $p_\mu=(E,\vec p)$, и $p^\mu=(E,-\vec p)$, то как правильно:

$i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$

или

$i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},+i\vec \nabla)$

?

 Профиль  
                  
 
 Re: ковариантность, контравариантность и квантмех
Сообщение30.05.2017, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Если выдумать свой собственный алфавит, и писать им, то как правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: ковариантность, контравариантность и квантмех
Сообщение30.05.2017, 21:38 
Заморожен


16/09/15
946

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1220139 писал(а):
Обычно полагают, что импульс - ковектор

В ОТО это существенно.

 Профиль  
                  
 
 Re: ковариантность, контравариантность и квантмех
Сообщение30.05.2017, 22:20 


10/11/11
81
Munin в сообщении #1220213 писал(а):
Если выдумать свой собственный алфавит, и писать им, то как правильно?

Вариантов алфавитов всего 4:

1) $p_\mu=(E,\vec p)$, и $p^\mu=(E,-\vec p)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$

2) $p_\mu=(E,\vec p)$, и $p^\mu=(E,-\vec p)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$

3) $p_\mu=(E,-\vec p)$, и $p^\mu=(E,\vec p)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$

4) $p_\mu=(E,-\vec p)$, и $p^\mu=(E,\vec p)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$

post1220080.html#p1220080 - утверждает что 1й или 3й

post1220199.html#p1220199 - утверждает что 1й, но тогда не выполнится $p_\mu=i\partial_\mu$ (в самом деле $i\vec \nabla e^{-iEt+i\vec p\vec x} \neq +\vec p e^{-iEt+i\vec p\vec x}$)

post1220233.html#p1220233 , ссылаясь на post1220139.html#p1220139 - утверждает что 1й или 2й

И так, какой из алфавитов общепринят?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантность, контравариантность и квантмех
Сообщение30.05.2017, 23:53 
Заслуженный участник


29/09/14
1144
В самом первом сообщении
FeelUs в сообщении #1220052 писал(а):
Если мы договоримся $p^\mu=(E,\vec p)$, $p_\mu=(E,-\vec p)$, то соответственно получается $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$


Уже здесь Вы себя запутали; потому что не "получается" этого вашего соответственно, а, как сразу пояснил Slav-27, получается $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i \nabla).$ (Если же Вы настаиваете, что "получается" именно ваш вариант, то хотя бы вкратце обоснуйте, как он "получается"; чтобы он действительно не выглядел выдумыванием алфавита).

Другими словами, если Вы в 4-векторе импульса $p^\mu=(E,\vec p)$ замените числовые величины операторами $E=i\frac{\partial}{\partial t}$, $\vec p=-i \nabla,$ то получите

$i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i \nabla),$ и, опуская индекс, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i \nabla).$

И всё, больше ничего не надо выдумывать, дальше всё получается "как хочется".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантность, контравариантность и квантмех
Сообщение30.05.2017, 23:54 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Второй и четвёртый вариант отбрасываем, потому что иначе не получится правильное уравнение сохранения тока $\partial_{\mu} j^{\mu}=0$ (вспомните, в классическом уравнении непрерывности нет никаких минусов).

Показатель экспоненты, описывающей плоскую волну из вашего первого сообщения, равен инвариантной величине $-i p_{\mu}x^{\mu}=-i(Et-\mathbf p\cdot\mathbf x)$. Этому равенству противоречат первый и второй варианты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантность, контравариантность и квантмех
Сообщение31.05.2017, 01:21 


10/11/11
81
Спасибо Sin(x) за разъяснение.
т.е. мы задаем например $p_\mu=(E,-\vec p)$, $p^\mu=(E,\vec p)$, и дальше чисто формально выводим
$x_\mu=(t, -\vec x)$, $x^\mu=(t, \vec x)$,
$j_\mu=(\rho, -\vec j)$, $j^\mu=(\rho, \vec j)$,
$A_\mu=(\varphi, -\vec A)$, $A^\mu=(\varphi, \vec A)$,
$i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t}, i\frac{\partial}{\partial\vec x})$, $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t}, -i\frac{\partial}{\partial\vec x})$,
а не так, что если верхний индекс, значит плюс, а если нижний, значит минус.
Да и в случае с производными x и t находятся в знаменателе.

Как мне кажется, если во всех теориях (но за ОТО ручаться не буду :-) ) верхние индексы поменять на нижние и наоборот, то ничего не изменится. Например допустимо такое соглашение:
$p_\mu=(E,\vec p)$, $p^\mu=(E,-\vec p)$
$i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t}, -i\frac{\partial}{\partial\vec x})$, $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t}, i\frac{\partial}{\partial\vec x})$.
В связи с чем я не понял вот это:
svv в сообщении #1220303 писал(а):
Показатель экспоненты, описывающей плоскую волну из вашего первого сообщения, равен инвариантной величине $-i p_{\mu}x^{\mu}=-i(Et-\mathbf p\cdot\mathbf x)$. Этому равенству противоречат первый и второй варианты.
Если что, $p_\mu x^\mu = p^\mu x_\mu$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантность, контравариантность и квантмех
Сообщение31.05.2017, 01:42 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 ! 
FeelUs в сообщении #1220339 писал(а):
Спасибо Sin(x) за разъяснение.
FeelUs, замечание за искажение ника.

Помимо неуважения к собеседнику, это еще и технически неудобно - упоминание ника не фиксируется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантность, контравариантность и квантмех
Сообщение31.05.2017, 08:23 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
FeelUs в сообщении #1220339 писал(а):
Если что, $p_\mu x^\mu = p^\mu x_\mu$.
Это также равно $g_{\mu\nu}p^\mu x^\nu$ (или, в ортонормированном базисе, $\eta_{\mu\nu}p^\mu x^\nu$). И что? Компоненты 4-вектора $x$ ведь заведомо используются контравариантные, причём $x^\mu=(t, \mathbf x)$ (иное соглашение оговаривалось бы). Значит, чтобы получить выражение $Et-\mathbf p\cdot\mathbf x$, надо либо подставить $p^\mu=(E, \mathbf p)$ в выражение $\eta_{\mu\nu}p^\mu x^\nu$, либо подставить $p_\mu=(E, -\mathbf p)$ в выражение $p_\mu x^\mu$. То и другое ведёт к третьему варианту.

-- Ср май 31, 2017 09:08:30 --

FeelUs в сообщении #1220339 писал(а):
Как мне кажется, если во всех теориях (но за ОТО ручаться не буду :-) ) верхние индексы поменять на нижние и наоборот, то ничего не изменится.
Правильно, что не ручаетесь. (Разумеется, мы не говорим о тривиальной смене соглашения «контравариантные индексы сверху, ковариантные снизу» на противоположное.) Например, возьмём набор координат $x^\nu$, построим $dx^\nu$, затем определим $d x_\mu=g_{\mu\nu}d x^{\nu}$. Теперь попытаемся восстановить «ковариантные координаты» $x_\mu$ по их дифференциалам. Здесь нас ожидает сюрприз: в общем случае эта штука, $d x_\mu$, неинтегрируема, и никаких ковариантных координат не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантность, контравариантность и квантмех
Сообщение31.05.2017, 19:03 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
FeelUs в сообщении #1220193 писал(а):
Может вы имели ввиду "давайте договоримся $p_\mu=(E,\vec p)$, и $p^\mu=(E,-\vec p)$"?

Можно договориться называть 4-импульсом не то, что все называют 4-импульсом, а что-то другое. Но это нехорошо.

Пусть есть какая-то массивная частица. Что называют её 4-импульсом? Её 4-импульсом называют вектор, определённый в каждой точке мировой линии, который
1) касателен к мировой линии,
2) направлен в будущее,
3) его модуль в каждой точке равен массе частицы.
Пространственные компоненты таким образом определённого вектора (как можно проверить) составляют обычный нерелятивистский вектор импульса.

Это, по определению, 4-вектор, поэтому его (контравариантные) компоненты $(E, p_x, p_y, p_z)$ при заменах координат преобразуются как компоненты вектора.

Но тогда компоненты $(E, -p_x, -p_y, -p_z)$ не преобразуются как компоненты вектора. (Например, пусть речь о свободной массивной частице: перейдём к системе отсчёта, в которой она покоится. Тогда перемена знака пространственной части не меняет 4-импульс, потому что пространственная часть 0. А если поменять в системе отсчёта, в которой она движется, то 4-импульс меняется.) Или то же самое по-другому: если мы в какой-то системе отсчёта поменяли $(E, p_x, p_y, p_z)$ на $(E, -p_x, -p_y, -p_z)$, то в другой системе отсчёта придётся уже менять $(E', p'_x, p'_y, p'_z)$ не на $(E', -p'_x, -p'_y, -p'_z)$, а по-другому: иначе эта штука перестанет быть вектором.

Поэтому:
FeelUs в сообщении #1220193 писал(а):
давайте договоримся $p_\mu=(E,\vec p)$, и $p^\mu=(E,-\vec p)$
Так договариваться неправильно.

FeelUs в сообщении #1220256 писал(а):
3) $p_\mu=(E,-\vec p)$, и $p^\mu=(E,\vec p)$, $i\partial_\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},i\vec \nabla)$ и $i\partial^\mu=(i\frac{\partial}{\partial t},-i\vec \nabla)$
Правильно здесь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group