Стоячая плоская акустическая волна

[eugrita]

как математически объяснить что именно узел по смещению при отражение плоской волны от стенки?
Пусть источник гарм колебаний воздуха (поршень) расположен у открытого входа в трубу $x=0$ Если его задать уравнением $y(0,t)=Acoswt$ то Уравнение прямой волны по смещению
$y_1(x,t)=A\cos(wt-kx)=A\cos[(wt-kL)+(kL-kx)]$
уравнение обратной волны по смещению
$y_2(x,t)=A\cos(wt+kx-2kL)=A\cos[(wt-kL)-(kL-kx)] $
уравнение стоячей волны $Y=y_1+y_2=2A \cos(kL-kx) \cos(wt-kL)$
т е при$ x=L $у стенки автоматом будет пучность, что не соответствует физике.

то же будет если задать уравнение источника с смешением начальной фазы на 90 $y(0,t)=Asinwt$ то Уравнение прямой волны по смещению
$y_1(x,t)=A\sin(wt-kx)=A\sin[(wt-kL)+(kL-kx)]$
уравнение обратной волны по смещению
$y_2(x,t)=A\sin(wt+kx-2L)= A\sin[(wt-kL)-(kL-kx)] $
уравнение стоячей волны $Y=y_1+y_2=2A\cos(kL-kx)\sin(wt-kL)$
в обоих случаях уравнение стоячей волны $Y_{st}=2A\cos(kL-kx) $
дает у стенки узел, что неверно.
В чем ошибка? Источник волн характеризуется только смещениями (механическими колебаниями)

[DimaM]

eugrita в сообщении #1219661 писал(а):

уравнение обратной волны по смещению
$y_2(x,t)=A\cos(wt+kx-2kL)=A\cos[(wt-kL)-(kL-kx)] $

Как-то обычно пишут $y_2(x,t)=B\cos(kx+\omega t)$ и подбирают $B$ из граничных условий. Например, в случае стенки при $x=0$ должно быть $B=-A$.

[svv]

Я бы сказал даже,
$y_2(x, t)=B\cos(\omega t+kx)+C\sin(\omega t+kx)$
Можно и так:
$y_2(x, t)=B\cos(\omega t+kx+\varphi)$
— тут в нашем случае сразу можно взять $B=A$.

[eugrita]

Обычно считают так
$y_1(x,t)=A \cos(wt-\frac{x}{c})=A\cos(wt-kx)$
где $x$ - расстояние от проходимое волной от источника,$ c $- фазовая скорость
для обратной волны путь будет $2L-x$ т е
$y_2(x,t)=A\cos(wt-\frac{2L-x}{c})=A\cos(wt-2Lx+kx) $
но так будет если волна при отражении не изменила фазу. Б других типах волн, поперечных упругих
вроде если на отражаемом конце жесткая заделка они при отражении меняют фазу. Тогда 2-я формула выще не верна. Что здесь?
(в сообщении выше конечно можно было сразу написать любую начальную фазу и не рассматривать 2 раза
$\varphi_0=0$ и $\varphi_0=\frac{\pi}{2}$

[DimaM]

eugrita в сообщении #1219980 писал(а):

Что здесь?

"Кто здесь?"
В отраженной на жесткой стенке продольной волне смещение меняет знак (очевидно, что в сумме должен получаться нуль). В ваших терминах это будет сдвиг фазы на $\pi$.
В сумме, вроде, получается $2A\sin(k(x-L))\sin(\omega t-kL)$. Стоячая волна выйдет, если при $x=0$ будет пучность.

[svv]

eugrita
B формулу для обратной волны нет нужды с самого начала принудительно вписывать $L$ под косинусом или синусом, а также предполагать тот или иной знак слагаемых. Нет нужды гадать, какой коэффициент при $L$. Всё это можно получить как следствие граничных условий.
$y(x, t)=y_1(x, t)+y_2(x, t)$
$y_1(x, t)=A\cos(\omega t-kx)$
$y_2(x, t)=B\cos(\omega t+kx)+C\sin(\omega t+kx)$
$y(L, t)=0$ — граничное условие. Отсюда
$A\cos(\omega t-kL)=B\cos(\omega t+kL)+C\sin(\omega t+kL)$
Это равенство может быть справедливо при любых $t$, лишь если $B=A\cos 2kL$, $C=A\sin 2kL$. Подставляя в $y_2$ и упрощая, получим
$y_2(x, t)=A\cos(\omega t+ kx - 2kL)$

[eugrita]

ОК. Я все это вроде переварил. Теперь для самопроверки выставляю решения (волны) в виде картинок для 2 -3 простых случаев 1)левый конец свободен-правый заделка и б)обе заделки слева и справа.
В 1 случае частотное уравнение $\cos (kL)=0$ и на длине L укладывается нечетное число четверть-волн. Во 2 случае $\sin(kL)=0$ и на длине L укладывается целое число полуволн

и а

У меня получается что частотное уравнение и форма волн не зависят от положения источника т.е если его координата относительно левого края d то расстояние пройденное отраженной волной $2 \cdot (L-d)-x$ а краевое условие по давлению на свободном конце $p(-d)=0$

Мне интересно идя от простого к усложнению какие еще схемы можно рассмотреть?
В изгибных колебаниях набор краевых условий богаче - свободный конец, опора, упругая по смещению опора, заделка по повороту, упругость по повороту...
Ну ,видимо 1)граница раздела 2-х сред (воздух-вода) на открытом конце.