Жордановы клетки стохастических матриц

[Optimizator]

Верно ли, что любая матрица, подобная стохастической, не содержит жордановых клеток размера два и более (для клеток с корнем 1 это верно)?

[ewert]

$A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}$: сколько собственных векторов?

[Optimizator]

Спасибо! Mathematica показывает клетку размера 3 с собственным числом 0.
Можно также аналогичную матрицу размера 3 построить с клеткой размера 2. Но как Вы пришли к этому решению? От нильпотентной матрицы отталкивались? Не очень понимаю, как связано с числом собственных векторов...

И еще вопросы.
А можно ли для двоякостохастической матрицы? И клетку с ненулевым собственным числом?

[ewert]

Optimizator в сообщении #1219277 писал(а):

Но как Вы пришли к этому решению?

Тупо пришёл. Опыт показывает, что для стохастических матриц диагонализуемость тупо не очень естественна.

Optimizator в сообщении #1219277 писал(а):

Не очень понимаю, как связано с числом собственных векторов...

Тупо связано. К-во независимых собственных векторов равно к-ву жордановых клеток.

Optimizator в сообщении #1219277 писал(а):

А можно ли для двоякостохастической матрицы?

Вы слишком многого от меня хотите. Можно подумать, что я разбираюсь в марковских цепях.

Optimizator в сообщении #1219277 писал(а):

И клетку с ненулевым собственным числом?

Ну располовиньте в предыдущем примере первые три строчки.

[mihaild]

$$\frac{1}{30} \begin{pmatrix}12&11&7\\9&11&10\\9&8&13\end{pmatrix}$$

Идея: матрица дважды стохастическая - значит, $w = (1, 1, 1)$ и $w^\perp$ инвариантны, и все элементы положительны. Пишем матрицу в каком-нибудь базисе, согласованном с $w$ так, чтобы она была не диагонализируема (требуем $Aw = w, Aw_1 = \lambda w_1, Aw_2 = \lambda w_2 + c w_1$). Подбираем $\lambda$ и $c$ так, чтобы матрица получилась положительная (можно ли в произвольной размерности - не знаю, тут получилось).

[Optimizator]

Спасибо, ребята!
Так необычно: столько лет решаю задачи (в основном по вероятности) сам и учу других, а тут... Быстрые решения, на блюдечке с голубой каемочкой .
Но в теории матриц пока новичок и вот этот вывод не понял:

mihaild в сообщении #1219282 писал(а):

$w = (1, 1, 1)$ и $w^\perp$ инвариантны, и все элементы положительны.

[mihaild]

Optimizator, запишите условия стохастичности по строкам и столбцам, потом посмотрите, чему они соответствует в векторном виде.

[Optimizator]

ewert в сообщении #1219278 писал(а):

Optimizator в сообщении #1219277 писал(а):

И клетку с ненулевым собственным числом?

Ну располовиньте в предыдущем примере первые три строчки.

Реализую эту идею для получения клетки $J_n(p)$, $0\le p\le 1$.
Матрица $P=Diag(pE+(1-p)J_n(0),(1))$ соответствует случайному блужданию на отрезке с вероятностью $p$ остаться на месте и $1-p$ сделать шаг вправо, крайнее правое состояние поглощающее. Она блочно-верхнетреугольная, имеет характеристический $\chi_P(x)=(x-1)(x-p)^{n}$ и жорданов базис

$$ e_1,\frac1{1-p}e_2,\ldots,\frac1{(1-p)^{n-1}}e_n, \vec 1. $$

Таким образом, построена стохастическая матрица, жорданова форма которой имеет клетку произвольного размера с неотрицательным числом.

Здесь остаются вопросы: а) о возможности получения клетки с отрицательным числом $J_n(-p)$ $0\le p\le 1$; (не смог построить неотрицательную матрицу с $\chi_A(x)=(x+p)^{n}$ )

б) о возможности построения матрицы $P$ эргодической цепи
(т.е. $\lim_{t\to\infty} P^t=1\downarrow \vec q$), $\vec q>0$),
подобная которой содержит $J_n(p)$, $|p|\le 1$.

-- 29.05.2017, 18:43 --

mihaild в сообщении #1219631 писал(а):

Optimizator, запишите условия стохастичности по строкам и столбцам, потом посмотрите, чему они соответствует в векторном виде.

Пишу: $\vec 1 P=\vec 1$, $P 1\downarrow=1\downarrow$, но продолжения идеи (для доказательства положительности матрицы) не вижу...

[mihaild]

Optimizator в сообщении #1219796 писал(а):

$P 1\downarrow=1\downarrow$,

Не понимаю этого обозначения

Optimizator в сообщении #1219796 писал(а):

для доказательства положительности матрицы

О положительности матрицы никто не говорил. Дважды стохастическая матрица - это матрица, все элементы которой неотрицательны (я в прошлый раз ошибочно написал "положительны"), стохастическая по строкам и столбцам. Условиях стохастичности легко записываются в векторном виде - как раз получается

mihaild в сообщении #1219282 писал(а):

$w = (1, 1, 1)$ и $w^\perp$ инвариантны

. Ну и дальше мы можем работать в более удобном базисе.

[Optimizator]

mihaild в сообщении #1219805 писал(а):

Optimizator в сообщении #1219796 писал(а):

$P 1\downarrow=1\downarrow$,

Не понимаю этого обозначения

Обозначаю через $1\downarrow$ вектор-столбец из всех единиц.

Спасибо за ответ, предыдущий вопрос снят. Но вот для дальнейшего решения проблемы...
Может ли существовать неотрицательная матрица, весь спектр которой вещественный и отрицателен?

[mihaild]

Optimizator в сообщении #1220221 писал(а):

Может ли существовать неотрицательная матрица, весь спектр которой вещественный и отрицателен?

Неотрицательная - в смысле "из неотрицательных элементов"?
Подсказка: что вам известно про коэффициенты характеристического многочлена матрицы?

[svv]

Optimizator в сообщении #1220221 писал(а):

Может ли существовать неотрицательная матрица, весь спектр которой вещественный и отрицателен?

След матрицы равен сумме её собственных значений (с учётом кратности).

[Optimizator]

Да, действительно... Как же тогда строить стохастическую, подобная которой имеет жорданову клетку размера 2 с отрицательным числом?

[mihaild]

Выбрать удобный базис, в котором стохастичность легко проверяется, и слегка поподбирать коэффициенты.

[Optimizator]

Оказывается, мой вопрос близок к обратной проблеме собственных значений для неотрицательных матриц (см. Хорн, Джонсон \S 8.3, c.597)
Laffey пишет:

While Kolmogorov, 1937, had asked earlier whether every
complex number can arise as an eigenvalue of a nonnegative
matrix, the NIEP was first formulated by Suleimanova, 1949.
Suleimanova: If
$\lambda_1 > 0 \ge \lambda_2 \ge \ldots \ge \lambda_n$,
then the list $\sigma = (\lambda_1, \ldots ,\lambda_n)$ is the spectrum of a
nonnegative matrix if and only if
$\lambda_1+ \ldots +\lambda_n ≥ 0$.