Поверхности 2ого порядка

[svv]

Собственные векторы $e_1$ и $e_2$ соответствуют различным собственным числам и потому уже ортогональны. Аналогично — векторы $e_1$ и $e_3$. Неортогональны только $e_2$ и $e_3$. Систему из двух последних векторов и надо ортогонализовать.

Расскажу, как я это делал (Вам этот способ вряд ли подойдёт). Во-первых, заметил, что полусумма $e_2$ и $e_3$ равна $(1,1,1)$. Естественно, это тоже собственный вектор, соответствующий значению $0$. Но с такими векторами приятно работать. Его я и назвал $e_2$, забыв про старые обозначения. Ну, а недостающий $e_3$ нашёл как векторное произведение $e_1$ и $e_2$ — он будет заведомо им ортогонален.

Ненамного сложнее любой стандартный способ ортогонализации.

[integrallebega]

svv в сообщении #1219471 писал(а):

Собственные векторы $e_1$ и $e_2$ соответствуют различным собственным числам и потому уже ортогональны. Аналогично — векторы $e_1$ и $e_3$. Неортогональны только $e_2$ и $e_3$. Систему из двух последних векторов и надо ортогонализовать.

Расскажу, как я это делал (Вам этот способ вряд ли подойдёт). Во-первых, заметил, что полусумма $e_2$ и $e_3$ равна $(1,1,1)$. Естественно, это тоже собственный вектор, соответствующий значению $0$. Но с такими векторами приятно работать. Его я и назвал $e_2$, забыв про старые обозначения. Ну, а недостающий $e_3$ нашёл как векторное произведение $e_1$ и $e_2$ — он будет заведомо им ортогонален.

Ненамного сложнее любой стандартный способ ортогонализации.

Я уже ортогонализировал через Грамма-Шмидта. Вот, что получилось:
$ \begin{pmatrix} -2 & -1 & 12 \\ -1 & 2 & 6 \\ 3 & 0 & 10 \\ \end{pmatrix} $

Теперь все векторы в ней попарно ортогональны. А что дальше делать?

[svv]

В этой матрице векторы записываются в столбик. И, пожалуйста, освободитесь от дробей, домножив все координаты «некрасивого» вектора на общий знаменатель. Но не оставляйте и множителей, на которые можно сократить (т.е. вместо $(300, 400, 500)$ надо взять $(3,4,5)$).

[integrallebega]

svv в сообщении #1219477 писал(а):

В этой матрице векторы записываются в столбик. И, пожалуйста, освободитесь от дробей, домножив все координаты «некрасивого» вектора на общий знаменатель. Но не оставляйте и множителей, на которые можно сократить (т.е. вместо $(300, 400, 500)$ надо взять $(3,4,5)$).

Исправил сообщение выше. Вы это имели ввиду?

А нет, я ошибся, сейчас исправлю

[svv]

Да, только теперь невооруженным взглядом видно, что второй и третий столбец неортогональны...

[integrallebega]

svv в сообщении #1219483 писал(а):

Да, только теперь невооруженным взглядом видно, что второй и третий столбец неортогональны...

Да и первый с третьим. Просто опечатался, уже исправил.

А что дальше делать? Как получить матрицу

$$P$$

?

[svv]

Чуть подрихтуем:
$\begin{pmatrix}-2 & -1 & 6 \\-1 & 2 & 3 \\3 & 0 & 5 \end{pmatrix}$
Это ортогональный базис. Но ещё не ортонормированный. Если нормировать каждый вектор, получится матрица $P$. Всё.

[integrallebega]

svv в сообщении #1219487 писал(а):

Чуть подрихтуем:
$\begin{pmatrix}-2 & -1 & 6 \\-1 & 2 & 3 \\3 & 0 & 5 \end{pmatrix}$
Это ортогональный базис. Но ещё не ортонормированный. Если нормировать каждый вектор, получится матрица $P$. Всё.

Разве?

векторы после нормирования:
$e_1 = {\frac{1}{\sqrt{41}}} (-2,-1,6), e_2 = {\frac1 \sqrt{14}} (-1,2,3),e_2 = {\frac1 \sqrt{34}} (3,0,5)$

Не знаю, пугают такие коэффициенты, в методичке и в примерах, которые на паре решали такого не было и матрица P очень просто находилась

$$\sqrt{test}$$

[svv]

Напомню, векторы у нас записаны в столбцах, поэтому модули другие.
Корень из числа $1000$ в $\TeX$ пишется так: \sqrt{1000}, получается красиво: $\sqrt{1000}$. Об этом Metford уже говорил.

-- Вс май 28, 2017 18:41:30 --

С вектором $e_1$, по-моему, совершенно очевидно, что проще не получится. Остальные такие же по сложности.

[Sinoid]

integrallebega в сообщении #1219419 писал(а):

$
\qquad
\begin{vmatrix}
4-\Lambda & 2 & -6 \\
2 & 1-\Lambda & -3 \\
-6&-3 & 9 - \Lambda \\
\end{vmatrix}
= -\Lambda^3 + 14x^2
$

Что-то я не понял, $x$ здесь откуда?

[svv]

Sinoid, погодите, сообщение в процессе, смотреть пока нельзя.

[integrallebega]

svv в сообщении #1219490 писал(а):

Корень из числа $1000$ в $\TeX$ пишется так: \sqrt{1000}, получается красиво: $\sqrt{1000}$. Об этом Metford уже говорил.

Да это я и так знал. С \frac так не получается.

[Aritaborian]

Sinoid в сообщении #1219494 писал(а):

$x$ здесь откуда?

Ну описка это была, там оба раза лямбда. Забейте ;-)

[svv]

$\frac{5}{\sqrt{29}}$ \frac{5}{\sqrt{29}}

[integrallebega]

Aritaborian в сообщении #1219500 писал(а):

Sinoid в сообщении #1219494 писал(а):

$x$ здесь откуда?

Ну описка это была, там оба раза лямбда. Забейте

Соглашусь.

svv в сообщении #1219503 писал(а):

$\frac{5}{\sqrt{29}}$ \frac{5}{\sqrt{29}}

Понял, поправил одно сверху ;)


Ну так что думаете, как найти P с нормальными коэффициентами? Чет я совсем не понимаю этот момент, а то, что до и после этого в задаче легко бы решил :(