Уравнение теплопроводности для шара

[Astroid]

Я понял, что Вы имели ввиду. Просто мне казалось, что эта функция должна быть ограничена везде. Но ведь логично, что за пределами шара она может быть вообще любой, нас это не волнует. Вот в предположении $\lim\limits_{r=0}^{}\frac{\tilde{v}(r)}{r} = 0$ получается удовлетворить все условия. Выражение выходит такое:
$ \tilde{v}(r) = -\frac{\frac{\alpha R}{p^3}+T_0R}{\sh{\frac{\sqrt{p}R}{a^2}}}\sh{\frac{\sqrt{p}r}{a^2}}+\frac{\alpha r}{p^3}+\frac{T_0r}{p}$.

[AnatolyBa]

Почти правильно, есть арифметические ошибки, и условие все же $v(r=0)=0$ а не $\lim\limits_{r=0}^{}\frac{\tilde{v}(r)}{r} = 0$.
Что ж делать, сложно. Но это ваша задача. Я ее не усложняю. Методом разделения переменых данная задача решается, пожалуй, проще.
Что делать дальше знаете?

[svv]

(Оффтоп)

Astroid в сообщении #1218731 писал(а):

Начальная температура шара $u(r, 0) = T_0$, на границе поддерживается нулевая температура.

Интересно, какова начальная температура на границе? (всепробивающий снаряд vs непробиваемая стена)

[Astroid]

AnatolyBa в сообщении #1219303 писал(а):

условие все же $v(r=0)=0$ а не $\lim\limits_{r=0}^{}\frac{\tilde{v}(r)}{r} = 0$.

Вас не затруднит объяснить почему именно так? Я просто попытался раскрыть неопределенность, которая возникает в нуле. А так у нас получается, что $\tilde{u}(0,t) = \frac{0}{0}$.
Дальше, видимо, нужно использовать формулу Римана-Меллина, теоремами о разложении не отделаться.
Да мне и самому метод разделения переменных ближе, больше практики с ним, но мы проходим преобразование Лапласа.

(Оффтоп)

Сам спрашивал у преподавателя именно этот момент, мне показалась кривоватой формулировка условия Видимо, имеется ввиду, что температура всюду, за исключением границы $= T_0$, а на ней $0$

[AnatolyBa]

Astroid в сообщении #1219398 писал(а):

Вас не затруднит объяснить почему именно так?

Ну если $v=u r$ и $u(r)$ при $r=0$ не обращается в бесконечность, то чему может быть равен $v(0)$?
Как раз $\lim\limits_{r=0}^{}\frac{\tilde{v}(r)}{r}$ нулю не равно

Astroid в сообщении #1219398 писал(а):

Дальше, видимо, нужно использовать формулу Римана-Меллина

Наверное можно.
Если бы я решал, я бы разложил $\dfrac{1}{\sh(\frac{\sqrt{p} R}{a})}=\dfrac{2 \exp(-\frac{\sqrt{p} R}{a})}{1-\exp(-2 \frac{\sqrt{p} R}{a})}=2 \exp(-\frac{\sqrt{p} R}{a}) \sum\limits_{n=0}^{\infty}\exp(-2n\frac{\sqrt{p} R}{a})$
Но этого решения я не навязываю. Все равно получается сложно