Задача по производящим функциям, как решать?

[byulent]

Цитата:

Число аварий на дороге в течение дождливого дня имеет распределение Пуассона
со средним 5. Число пострадавших в результате аварии может быть равно 1, 2, 3
или 4 с вероятностями 1/2, 1/3, 1/12 или 1/12, соответственно. Обозначим через
$\zeta$ общее число пострадавших в результате аварий в течение дня. Найдите
(а) производящую функцию величины $\zeta$;
(б) математическое ожидание и дисперсию величины $\zeta$.

Теперь о том, как решать. Получается, нам нужно найти производящую функцию произведения СВ $\xi$ (число аварий) и $\eta$ (число пострадавших).
Тогда:

$$g_{\xi\eta}(z) = \mathbb{E}z^{\xi\eta} = \mathbb{E}(z^\xi)^\eta...$$

А что дальше, ума не приложу. И, похоже, это вообще решается не так.

[Vince Diesel]

Пусть $f(z)$ - п.ф. для Пуассона. Тогда $g(z)=f(z)/2+f(z^2)/3+\ldots$

[DeBill]

Vince Diesel
В другом порядке, вроде....

byulent в сообщении #1218871 писал(а):

нужно найти производящую функцию произведения СВ $\xi$

Нет, нам надо найти пр.ф-ю СУММЫ случайного числа случайных величин.
Пусть $\eta_i$ - число пострадавших в $i$-й аварии. Тогда $\zeta = \eta_1 +...+\eta_{\xi}$. По формуле для пр.ф-и СУММЫ случайного числа случайных величин имеем: $\varphi_{\zeta} = \varphi_{\xi}\circ \varphi$, где $\varphi$- пр.ф. для числа пострадавших в одной аварии.