На что похожа эта кривая?

[kalin]

Не мог сократить, потому что ml - как имя переменной, а l m читает, как l*m

[Rusit8800]

Исправил, но Maple дальше сокращать не хочет - иссякли его силы.

[iifat]

iifat, осмелюсь напомнить, советовал повторить барицентрические координаты до понимания формулы, дающей координаты точки напрямую безо всех этих систем уравнений и новомодных извращений с Maple и т.п.
Далее, для простоты представим себе, к примеру, равнобедренный прямоугольный треугольник с диагональю $AC$, приподнимем вершину $B$ исходного и проведём прямую $BB'$. Параллельная этой прямой проекция спроектирует нашу кривулю в аналогичную в прямоугольном треугольнике, поскольку такая проекция сохраняет отношения параллельных отрезков и пересечения прямых, так что можно посмотреть слегка на задачу в более простом прямоугольном треугольнике. Можно расположить начало координат в середине диагонали, ось абсцисс пустить вдоль неё. Координаты точек получатся $A(-r,0), B(0,r),C(r,0)$, стороны $r\sqrt2,2r$. Имхо, выражения должны б получиться попроще.

[Rusit8800]

iifat в сообщении #1218751 писал(а):

советовал повторить барицентрические координаты до понимания формулы, дающей координаты точки напрямую безо всех этих систем уравнений и новомодных извращений с Maple и т.п.

На это уйдет много времени. Я планировал это сделать летом. Тогда придется бросить топик. Да и вообще, вы же сами сказали перевести в декартову систему координат, чтобы можно было подключить матан.

iifat в сообщении #1218751 писал(а):

прямоугольный треугольник с диагональю $AC$

Мб с гипотенузой?

iifat в сообщении #1218751 писал(а):

проведём прямую $BB'$

Откуда берется точка $B'$. И случайно $\angle B$ не прямой?

-- 25.05.2017, 16:47 --

Неужели с этим

$$x = \frac{{{c^{2n}}m{b^n} - {c^n}{a^{2n}}m - {c^n}{a^n}m{b^n} - {c^n}{b^{2n}}m - {a^{2n}}k{b^n} - {a^n}{b^{2n}}k}}{{{c^{2n}}{b^n} - {c^n}{a^{2n}} - {c^n}{a^n}{b^n} - {c^n}{b^{2n}} - {a^{3n}} - 2{a^{2n}}{b^n} - {a^n}{b^{2n}}}},$$

$$y = \frac{{{b^n}l{a^n}({a^n} + {b^n})}}{{{c^n}{a^{2n}} + {c^n}{a^n}{b^n} + {c^n}{b^{2n}} + {a^{3n}} + 2{a^{2n}}{b^n} + {a^n}{b^{2n}} - {c^{2n}}{b^n}}}$$

параметрическим уравнением кривой ничего нельзя сделать?

[iifat]

Rusit8800 в сообщении #1218753 писал(а):

Мб с гипотенузой?

Точно. С гипотенузой.

Rusit8800 в сообщении #1218753 писал(а):

Откуда берется точка $B'$. И случайно $\angle B$ не прямой?

Не, прямой как раз $\angle B'$

Rusit8800 в сообщении #1218753 писал(а):

Неужели с этим

Ну вот сходу в голову ничего не лезет.

[Rusit8800]

iifat в сообщении #1218760 писал(а):

Ну вот сходу в голову ничего не лезет.

Вы разве не предлагаете рассмотреть частный случай? Тогда мы найдем частный случай кривой, и вообще рискуем найти ее вырожденный случай как с правильным треугольником.

-- 25.05.2017, 17:41 --

А через барицентрические координаты $(a^n : b^n : c^n)$ никак нельзя? Это тоже параметрическое задание кривой, только в другой системе координат.

[iifat]

Rusit8800 в сообщении #1218763 писал(а):

рассмотреть частный случай?

Точно. Ерунду сморозил.

Rusit8800 в сообщении #1218763 писал(а):

А через барицентрические координаты $(a^n : b^n : c^n)$ никак нельзя?

Дык, по идее, по всякому можно. Вот только как конкретно?

[Rusit8800]

iifat в сообщении #1218764 писал(а):

Ерунду сморозил.

Я?

iifat в сообщении #1218764 писал(а):

Вот только как конкретно?

Мда, барицентрические только усложнят. Все в итоге сведется к декартовым.

-- 25.05.2017, 17:56 --

А вообще, разве нет общего алгоритма, с помощью которого из параметрического описания точки можно получить уравнение их ГМТ? Здравый смысл подсказывает, что алгоритм должен существовать. Вся задача сводится к выполнению этого алгоритма.

[Someone]

А если за оси координат взять две стороны треугольника, то, наверное, попроще будет выглядеть. Правда, система координат будет косоугольная.

[Sinoid]

Someone в сообщении #1218773 писал(а):

А вообще, разве нет общего алгоритма, с помощью которого из параметрического описания точки можно получить уравнение их ГМТ?

Конечно, есть: из параметрического уравнения одной координаты выражаете параметр и подставляете (параметр) в уравнение другой координаты. Вот только на практике это может только все усложнить.

-- 25.05.2017, 21:05 --

Я имею ввиду на плоскости.

[Rusit8800]

Решил дать решить эту задачу Maple, а он выдал такое:

[iifat]

Rusit8800 в сообщении #1218766 писал(а):

iifat в сообщении #1218764 писал(а):

Ерунду сморозил.

Я?

Да нет же! Я. Всё вроде б нормально, но пропорции деления сторон при проектировании уже не будут пропорциональны другим сторонам. (Эк я завернул!)

[Rusit8800]

В общем, ладно, думаю, пора забить на эту кривую: ее график не похож ни на одну известную(кроме гиперболы, но это не гипербола), да и ее вид мне не так интересен. Всем, кто помогал - спасибо.

[iakovk]

Rusit8800 в сообщении #1218742 писал(а):

$$x = \frac{{{c^{2n}}m{b^n} - {c^n}{a^{2n}}m - {c^n}{a^n}m{b^n} - {c^n}{b^{2n}}m - {a^{2n}}k{b^n} - {a^n}{b^{2n}}k}}{{{c^{2n}}{b^n} - {c^n}{a^{2n}} - {c^n}{a^n}{b^n} - {c^n}{b^{2n}} - {a^{3n}} - 2{a^{2n}}{b^n} - {a^n}{b^{2n}}}},$$

$$y = \frac{{{b^n}l{a^n}({a^n} + {b^n})}}{{{c^n}{a^{2n}} + {c^n}{a^n}{b^n} + {c^n}{b^{2n}} + {a^{3n}} + 2{a^{2n}}{b^n} + {a^n}{b^{2n}} - {c^{2n}}{b^n}}}$$

Это неправильно. Легко убедиться: подставьте в эти формулы $n=0$; при этом вы должны получить координаты точки пересечения медиан, то есть $(\frac{k+m}{3},\frac{l}{3})$ (среднее арифметическое координат вершин). По вашим формулам это не получается.
Исходя из ваших

Rusit8800 в сообщении #1218742 писал(а):

$$A=(0,0), B=(k,l), C=(m,0)$$

$$\[\frac{{B{S_2}}}{{A{S_2}}} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}};\frac{{C{S_3}}}{{A{S_3}}} = \frac{{{a^n}}}{{{c^n}}}\]$$

$${S_2} = \left( {\frac{{k{b^n}}}{{{a^n} + {b^n}}},\frac{{l{b^n}}}{{{a^n} + {b^n}}}} \right);{S_3} = \left( {\frac{{m{c^n}}}{{{a^n} + {c^n}}},0} \right)$$

у меня в Mathematica получились намного более простые формулы:

$$x= \frac{k b^n+m c^n}{a^n+b^n+c^n},$$$$y=\frac{l b^n}{a^n+b^n+c^n}.$$

Отсюда, в частности, видно, что при изменении $n$ от $-\infty$ до $+\infty$ кривая проходит от одной вершины треугольника до другой. Скорее всего это не гипербола.

[INGELRII]

Если на то пошло, у вас переменные $a,b,c$ и $k,l,m$ не являются независимыми друг от друга. Одну из троек можно выразить через другую. Это недочет или вас устраивает, как есть?