Уравнение теплопроводности для шара

[Astroid]

Мне нужна помощь в решении задачи по матфизике. Решать нужно с помощью преобразования Лапласа.
Условие формулируется так: С момента $t = 0$ в шаре радиуса $R$ начинают выделять тепло источники плотностью $\alpha t$, $t$ - время. Начальная температура шара $u(r, 0) = T_0$, на границе поддерживается нулевая температура.
Мое решение выглядит так.
Постановка задачи:
$\frac{\partial u}{\partial t} - a^2\Delta u = \alpha t$, — уравнение теплопроводности.

НУ:
$u(r, 0) = T_0$

ГУ:
$u(R, t) = 0$

$|u|<\infty$

Решение:

Переходим в сферическую СК, от Лаплассиана остается (ввиду симметрии) один член $\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial u}{\partial r})$, для краткости который я обозначил $u_r_r$
Теперь производим преобразование Лапласа над уравнением теплопроводности (могу привести выкладки, если требуются):
От частной производной по времени остается $p\tilde{u} - T_0$, от источников $\frac{\alpha}{p^2}$, а в радиальной части лаплассиана меняем порядок интегрирования и дифференцирования и получаем просто $— \frac{\tilde{u}_r_r}{p}$ (сверху волна, это не очень видно).

Таким образом получаем уравнение вида:

$p\tilde{u} - T_0 + \frac{a^2\tilde{u}_r_r}{p} = \frac{\alpha}{p^2}$ (1).

Вопрос: что за уравнение $(1)$ такое? Вроде смахивает на Бесселя нулевого порядка, но вес там получается $r^2$, а не $r$. Это какое-то именное уравнение? Или я просто забыл как такие решаются?
Может, есть еще по ходу решения какие-то ошибки?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы) - не надо вставлять лишние доллары в середины формул.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[AnatolyBa]

Лучше записать уравнение для $u r$. Кроме того с лапласианом что-то не то, откуда $-\frac{1}{p}$?

[Astroid]

AnatolyBa в сообщении #1218767 писал(а):

Лучше записать уравнение для $u r$. Кроме того с лапласианом что-то не то, откуда $-\frac{1}{p}$?

Ой, понял. $-\frac{1}{p}$ действительно лишнее.
А что Вы имели ввиду под "записать для $ur$?

[AnatolyBa]

Уравнение для $u$ выглядит сложновато, но если ввести новую функцию $v=u r$, то для нее уравнение будет проще

[Astroid]

AnatolyBa в сообщении #1218772 писал(а):

Уравнение для $u$ выглядит сложновато, но если ввести новую функцию $v=u r$, то для нее уравнение будет проще

Понял. А какое уравнение я пытаюсь получить? Таки Бесселя?

-- 25.05.2017, 19:44 --

Ох, и правда стало гораздо проще.
С Вашей заменой у меня вышло:
$\tilde{v}_r_r - p\tilde{v} = -\frac{\alpha r}{p^2} - T_0$, и здесь $\tilde{v}_r_r = \frac{\partial^2 v}{\partial r^2}$
Никогда не понимал как люди так сходу придумывают подходящую замену, научите
И спасибо большое.

[Astroid]

Хм, вот только ответ в изображениях получается странный.
$\tilde{v} = (1-e^{\sqrt{p}(R-r)})(\frac{\alpha R}{p^3} + \frac{T_0}{p})$
Непросто это будет обратно во временную область вернуть, учитывая показатель экспоненты.

[Metford]

Astroid в сообщении #1218801 писал(а):

Непросто это будет обратно во временную область вернуть, учитывая показатель экспоненты.

Да показатель-то ничего. Есть ведь стандартная связь

$$\frac{1}{\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{\alpha^2}{4t}}\to\frac{1}{\sqrt{p}}e^{-\alpha\sqrt{p}}$$

(извините, не помню, как в ТеХе сделать знак преобразования по Лапласу). Поэтому меня больше степени в знаменателе беспокоят. С ними всё в порядке?

А так, всегда есть формула Меллина...

[Astroid]

Metford в сообщении #1218803 писал(а):

Поэтому меня больше степени в знаменателе беспокоят. С ними всё в порядке?

А так, всегда есть формула Меллина...

Перепроверил степени еще раз. Все вроде так. Не могли бы Вы посоветовать учебник/ресурс с подробно описанной формулой Римана-Меллина? Я нигде не могу найти толковых примеров и, видимо, придется ее использовать.

[Metford]

Astroid в сообщении #1218815 писал(а):

Не могли бы Вы посоветовать учебник/ресурс с подробно описанной формулой Римана-Меллина? Я нигде не могу найти толковых примеров и, видимо, придется ее использовать.

Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. "Методы теории функций комплексного переменного". Там, кстати, в том числе доказывается приведённая мной формула.

[AnatolyBa]

Astroid в сообщении #1218774 писал(а):

Никогда не понимал как люди так сходу придумывают подходящую замену

Это стандартный прием для сферических задач, не такой уж я и умный.

Astroid в сообщении #1218801 писал(а):

вот только ответ в изображениях получается странный.

У меня плохая новость. На самом деле ответ еще более странный. Вы не учли условие $v(0)=0$ (т. к. $u$ конечно), т. е. нужно брать решение и с $\sqrt{p}$ и с $-\sqrt{p}$. У вас должны получиться гиперболические синусы, к сожалению не только в числителе.
А кто обещал, что будет легко?
Что, все-таки нужно найти? Общее решение весьма сложно, но обычно требуется найти что-то такое, где возможно упрощение.

[Munin]

Metford в сообщении #1218803 писал(а):

(извините, не помню, как в ТеХе сделать знак преобразования по Лапласу).

$\risingdotseq$ \risingdotseq
$\fallingdotseq$ \fallingdotseq

[Astroid]

AnatolyBa в сообщении #1218881 писал(а):

У меня плохая новость. На самом деле ответ еще более странный. Вы не учли условие $v(0)=0$ (т. к. $u$ конечно), т. е. нужно брать решение и с $\sqrt{p}$ и с $-\sqrt{p}$. У вас должны получиться гиперболические синусы, к сожалению не только в числителе.
А кто обещал, что будет легко?
Что, все-таки нужно найти? Общее решение весьма сложно, но обычно требуется найти что-то такое, где возможно упрощение.

Хм. И правда. Я, почему-то, неправильно переформулировал условие ограниченности при переходе от $u$ к $v$. Позже посмотрю на свежую голову. А найти нужно распределение температуры, то есть, увы, $u$.

[Astroid]

AnatolyBa в сообщении #1218881 писал(а):

Вы не учли условие $v(0)=0$ (т. к. $u$ конечно)

Не совсем только понимаю, как из того что $u$ — конечно следует, что $v(0) = 0$. По нашей замене, получается, что $\left\lvert\frac{v}{r}\right\rvert < \infty$. Ежели $v = 0|_{r=0}$, то у нас получается неопределенность.
Я подумал сначала, что точка $r = 0$ должна быть исключена из рассмотрения, и, соответственно, далее полагаем только лишь $\left\lvert v \right\rvert < \infty$.
Как мы вообще изначально можем делать такую замену не предполагая при этом, что $r \ne 0$?

Но я проделал все вычисления с Вашим условием и действительно появились экспоненты в знаменателе. Вот только зачем себе задачу так усложнять?