2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рекуррентная последовательность: дробные части от обратных
Сообщение22.05.2017, 23:45 


08/09/13
210
Рассматривал ли кто-то рекуррентные последовательности вида
$x_0 \in (0;1)$
$x_n = \left\lbrace { \frac{a}{x_{n-1}} } \right\rbrace$,
Где $a>0$ - некоторая константа? $\left\lbrace \right\rbrace$, конечно, означает дробную часть.
Меня заинтересовала плотность распределения $x_0, x_1, ..., x_n$ на $(0;1)$. При $a=1$ выходит что-то отдалённо похожее на $\rho(x) = c (\frac{4}{3} - \frac{2}{3} x^{\frac{\ln{2}}{\ln{3}}})$, где $c$ - нормализующая константа. При $a>1$ график распределения "выпрямляется" с ростом $a$. Интересно, по каким законам?
При $a<1$ вся последовательность болтается в очень близких окрестностях одной или двух точек (одной - при очень $a$, близких к единице), по сути, сходится к ним. Причём при значениях $a$, не очень близких к единице, "застревание" рекуррентности в двух сменяющих друг друга точках почти всегда происходит сразу, либо на первом, либо на втором члене.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная последовательность: дробные части от обратных
Сообщение23.05.2017, 08:14 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
При $a=1$ это должно быть связано с распределением Гаусса-Кузьмина, поскольку так разложение в цепную дробь считается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная последовательность: дробные части от обратных
Сообщение23.05.2017, 18:55 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Эта последовательность может содержать лишь конечное число различных членов при некоторых $x_0$ зависящих от $a$ и плотность неопределенна. Например при $x_0=\frac{a}{x_0}-k$, где $k\in\mathbb{N}, k>a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная последовательность: дробные части от обратных
Сообщение24.05.2017, 10:56 


08/09/13
210
Я понял, что при $a<1$ "застревание" в двух точках происходит когда случается $x_n > a, x_{n+1} > a$. Тогда, конечно $x_{n+2} = x_n$. Интересно исследовать теперь, как долго и при каких $x_0$ последовательность может "удерживаться" от такого "застревания", сохраняясь в пределах $(0;a)$, и может ли бесконечно хотя бы для какого-то $x_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная последовательность: дробные части от обратных
Сообщение24.05.2017, 11:29 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Для $a=1$ функция $x:\to\{1/x\}$ называется гауссовским отображением, у него есть инвариантная мера, ее плотность равна $1/((1+x)\ln2)$. Доказательство приводится тут. Упоминается в книжке Арнольда "Цепные дроби".

ЗЫ. В статье Invariant Measures for Gauss Maps Associated with Interval Exchange Maps что-то подобное в общем виде обсуждается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная последовательность: дробные части от обратных
Сообщение24.05.2017, 12:30 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Для рациональных $a$ (а с точки зрения компутера, все числа боле-мене рациональны), некоторые начальные точки немедля (или -медля) попадают в целые, и последовательность обрывается. Так что много хорошего ждать не приходится....
Неподвижные точки есть неподвижные точки отображения $f_n: x \mapsto \frac{a}{x} -n$ для некоторого натурального $n$. Производная этого от-я в неподвижной точке $x_n=f_n(x_n)$ - больше 1, так что все они - неустойчивы. И их - много, хотя и не слишком ($x_n \to 0$).
fractalon в сообщении #1218465 писал(а):
"застревание" в двух точках происходит когда

$b=f_n(c), c=f_m(b)$, так что $c=c_{mn} - $ неподвижная для композиции $f_{mn}= f_m \circ f_n$. Счет производной $f_{mn}$ в неподвижной опять таки дает неустойчивость. Так что "застревание" - это, видимо, видимость: реально, итерации скачут вокруг каких-то там циклов, мобыть, и не удаляясь далеко от неких "главных"...
Да и вааще, график нашего отображения $f: x\mapsto \{\frac{a}{x} \}$ b и сам по себе ужасен, и поведение итераций должно быть таким же. Что же, бум искать инвариантную для $f$ меру?
Ага, уже нашли (почти)...
И последнее: композиция нескольких $f_n$ - дробно-линейное, с не более чем двумя неподвижными точками (может, и не попавшими на $(0,1)$). Видимо, эти точки плотны на $(0,1)$, и все (при $a<1$ ?) - гиперболические. Так что будет у нас узасное гиперболическое множество...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group