Для рациональных

(а с точки зрения компутера, все числа боле-мене рациональны), некоторые начальные точки немедля (или -медля) попадают в целые, и последовательность обрывается. Так что много хорошего ждать не приходится....
Неподвижные точки есть неподвижные точки отображения

для некоторого натурального

. Производная этого от-я в неподвижной точке

- больше 1, так что все они - неустойчивы. И их - много, хотя и не слишком (

).
"застревание" в двух точках происходит когда

, так что

неподвижная для композиции

. Счет производной

в неподвижной опять таки дает неустойчивость. Так что "застревание" - это, видимо, видимость: реально, итерации скачут вокруг каких-то там циклов, мобыть, и не удаляясь далеко от неких "главных"...
Да и вааще, график нашего отображения

b и сам по себе ужасен, и поведение итераций должно быть таким же. Что же, бум искать инвариантную для

меру?
Ага, уже нашли (почти)...
И последнее: композиция нескольких

- дробно-линейное, с не более чем двумя неподвижными точками (может, и не попавшими на

). Видимо, эти точки плотны на

, и все (при

?) - гиперболические. Так что будет у нас узасное гиперболическое множество...