Рекуррентная последовательность: дробные части от обратных

[fractalon]

Рассматривал ли кто-то рекуррентные последовательности вида
$x_0 \in (0;1)$
$x_n = \left\lbrace { \frac{a}{x_{n-1}} } \right\rbrace$,
Где $a>0$ - некоторая константа? $\left\lbrace \right\rbrace$, конечно, означает дробную часть.
Меня заинтересовала плотность распределения $x_0, x_1, ..., x_n$ на $(0;1)$. При $a=1$ выходит что-то отдалённо похожее на $\rho(x) = c (\frac{4}{3} - \frac{2}{3} x^{\frac{\ln{2}}{\ln{3}}})$, где $c$ - нормализующая константа. При $a>1$ график распределения "выпрямляется" с ростом $a$. Интересно, по каким законам?
При $a<1$ вся последовательность болтается в очень близких окрестностях одной или двух точек (одной - при очень $a$, близких к единице), по сути, сходится к ним. Причём при значениях $a$, не очень близких к единице, "застревание" рекуррентности в двух сменяющих друг друга точках почти всегда происходит сразу, либо на первом, либо на втором члене.

[Vince Diesel]

При $a=1$ это должно быть связано с распределением Гаусса-Кузьмина, поскольку так разложение в цепную дробь считается.

[Null]

Эта последовательность может содержать лишь конечное число различных членов при некоторых $x_0$ зависящих от $a$ и плотность неопределенна. Например при $x_0=\frac{a}{x_0}-k$, где $k\in\mathbb{N}, k>a$

[fractalon]

Я понял, что при $a<1$ "застревание" в двух точках происходит когда случается $x_n > a, x_{n+1} > a$. Тогда, конечно $x_{n+2} = x_n$. Интересно исследовать теперь, как долго и при каких $x_0$ последовательность может "удерживаться" от такого "застревания", сохраняясь в пределах $(0;a)$, и может ли бесконечно хотя бы для какого-то $x_0$.

[Vince Diesel]

Для $a=1$ функция $x:\to\{1/x\}$ называется гауссовским отображением, у него есть инвариантная мера, ее плотность равна $1/((1+x)\ln2)$. Доказательство приводится тут. Упоминается в книжке Арнольда "Цепные дроби".

ЗЫ. В статье Invariant Measures for Gauss Maps Associated with Interval Exchange Maps что-то подобное в общем виде обсуждается.

[DeBill]

Для рациональных $a$ (а с точки зрения компутера, все числа боле-мене рациональны), некоторые начальные точки немедля (или -медля) попадают в целые, и последовательность обрывается. Так что много хорошего ждать не приходится....
Неподвижные точки есть неподвижные точки отображения $f_n: x \mapsto \frac{a}{x} -n$ для некоторого натурального $n$. Производная этого от-я в неподвижной точке $x_n=f_n(x_n)$ - больше 1, так что все они - неустойчивы. И их - много, хотя и не слишком ($x_n \to 0$).

fractalon в сообщении #1218465 писал(а):

"застревание" в двух точках происходит когда

$b=f_n(c), c=f_m(b)$, так что $c=c_{mn} - $ неподвижная для композиции $f_{mn}= f_m \circ f_n$. Счет производной $f_{mn}$ в неподвижной опять таки дает неустойчивость. Так что "застревание" - это, видимо, видимость: реально, итерации скачут вокруг каких-то там циклов, мобыть, и не удаляясь далеко от неких "главных"...
Да и вааще, график нашего отображения $f: x\mapsto \{\frac{a}{x} \}$ b и сам по себе ужасен, и поведение итераций должно быть таким же. Что же, бум искать инвариантную для $f$ меру?
Ага, уже нашли (почти)...
И последнее: композиция нескольких $f_n$ - дробно-линейное, с не более чем двумя неподвижными точками (может, и не попавшими на $(0,1)$). Видимо, эти точки плотны на $(0,1)$, и все (при $a<1$ ?) - гиперболические. Так что будет у нас узасное гиперболическое множество...