Построение фазового портрета для ДУ

[dima_1985]

Здравствуйте! Помогите разобраться с вопросами связанными с построениями фазового портрета.
1 Дано ДУ $x''-x'=1$.Решил это ДУ и получил $x(t)=C_1+C_2e^t-t,x'(t)=C_2e^t-1$.Построил фазовый портрет .
Можно нарисовать направление стрелок не решая ДУ? Если можно то как? Я старался рисовать стрелки под 45 градусов( так как функции $x(t)$ и $x'(t)$ одного порядка при $t\to\infty$) это важно? Или достаточно просто указать направление?
2) Имеем систему ДУ $\left\{ \begin{array}{rcl} x'=2x+y \\ y'=3x+4y\\ \end{array} \right.$.Составим характеристическое уравнение $\begin{bmatrix} 2-k& 1\\ 3& 4-k\\ \end{bmatrix}=0$.Найдем собственные вектора $V_1=\begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}$ и $V_2=\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}$.Построим фазовый портрет в новой системе координат .
Вопрос состоит в том, что если уравнение $k^2-6k+5=0$ имеет кратные корни или комплексные как новая система координат деформируется относительно старой?
3) Если система имеет несколько особых точек то графики рисуются отдельно для каждой точки ? Спасибо !

[Metford]

dima_1985 в сообщении #1217911 писал(а):

Вопрос состоит в том, что если уравнение $k^2-6k+5=0$ имеет кратные корни или комплексные как новая система координат деформируется относительно старой?

Насчёт системы координат не очень понял. В указанных случаях будут особые точки типа дикритический/вырожденный узел (кратные корни) или фокус/центр (комплексные корни) - если об этом был вопрос.

[DeBill]

1.Будьте осторожнее с такими картинками: препода кондратий может хватить...

dima_1985 в сообщении #1217911 писал(а):

Можно нарисовать направление стрелок не решая ДУ?

Можно: вводя переменную $y=\dot{x}$, получим систему типа 2., и стрелки рисуются автоматически. Обратите внимание на знаки компонент вектора:
в разных частях плоскости векторочки смотрят в разные квадранты, вообще говоря.

dima_1985 в сообщении #1217911 писал(а):

Я старался рисовать стрелки под 45 градусов( так как функции $x(t)$ и $x'(t)$ одного порядка при $t\to\infty$) это важно?

Это верно при больших $t$ (т.е., если $x$ и $y$ велики, то стрелки - почти под 45).
Переписав полученную систему в виде $\frac{dx}{dy}=\frac{y}{y+1}$ (или: выражая из найденных Вами решений $t$ черех $y$, а затем - $x$ через $y$), получите уравнения фазовых кривых. Средствами матана, нарисуйте график одной из них (остальные получатся из нее сдвигами).

-- 22.05.2017, 10:21 --

2. На картинке отсутствуют самые важные детали: сепаратрисы Вашего узла. Ну, на самом деле они есть -
это оси "другой" системы координат. Присобачьте им стрелочки...

dima_1985 в сообщении #1217911 писал(а):

как новая система координат деформируется относительно старой?

Для кратных: так же. При этом, кратному корню может соответствовать два собственных вектора (и будет дикритический узел, с фазовыми кривыми - прямыми), или один (вырожденный узел: тогда надо искать присоединенный (к собственному) вектор, в базисе из полученной пары рисовать портрет (он будет сильно кривой), и деформировать картинку соответствующим линейным преобразованием (возврат к старому базису)).
Для комплексных корней: выходить в комплексную плоскость $\mathbb{C}^2$
не надо, конечно. Но можно так: линейным преобразованием сделайте матрицу системы "красивой" (диагональные - равны, два других - различаются знаком). Система с такой матрицей в полярных координатах явно и хорошо решается (фазовые кривые - логарифмические спирали - для фокуса, или окружности - для центра). Обратное преобразование их маленько сплющит, ну и ладно: портрет готов!

dima_1985 в сообщении #1217911 писал(а):

Если система имеет несколько особых точек то графики рисуются отдельно для каждой точки ?

Да - в малой окрестности каждой (если "графики" - это их фазовые портреты). Но после этого, надо еще дорисовать портрет в оставшейся части плоскости. А это еще та проблема! И не всегда это удается сделать точно и полно. Например, в системе могут быть предельные циклы (замкнутые фазовые кривые), далеко отстоящие от особых точек. Даже для квадратичных систем (справа в системе - многочлены второй степени) вопрос об описании ф.портрета еще не полностью исследован. Даже нет ответа на вопрос, сколько циклов может быть в такой системе.

(Оффтоп)

Есть, правда, "программа Дюмортье": надо исследовать порядка сотни квадратичных систем (каждая - материал для кандитатской диссертации!), и ответ - будет. Программа пока реализована примерно на две трети...

[dima_1985]

Спасибо за ответы.
А) Я переделал первое уравнение составил систему

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x' &=&y \\ y' &=&1+y \\ \end{array} \right.$$

. Подставлял произвольные точки в систему и получал направление траектории. Вот что получилось

Б)

DeBill в сообщении #1217934 писал(а):

При этом, кратному корню может соответствовать два собственных вектора

. Посмотрел несколько систем с кратными корнями и не удалось найти с двумя собственными векторами. Вот одна из них

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x' &=&2x+y \\ y' &=&-x+4y \\ \end{array} \right.$$

. Получил матрицу

$$\begin{pmatrix} 2-k& 1\\ -1&4-k \end{pmatrix}$$

.У неё кратный корень 3. Получил матрицу

$$\begin{pmatrix} 2-3& 1\\ -1&4-3 \end{pmatrix}$$

.Получил 1 собственный вектор $(1;1)$. Как может получиться два вектора?? Я пока не додумал. Нарисовал фазовый портрет .Фазовый портрет рисовал так:
1) посмотрел в учебнике, что представляет из себя кривая
2) подставил несколько точек в систему и получил направление
3) Разместил кривую по направлению к собственному вектору.Я не знаю правильно это или нет ??

В)

DeBill в сообщении #1217934 писал(а):

Но можно так: линейным преобразованием сделайте матрицу системы "красивой" (диагональные - равны, два других - различаются знаком). Система с такой матрицей в полярных координатах явно и хорошо решается (фазовые кривые - логарифмические спирали - для фокуса, или окружности - для центра). Обратное преобразование их маленько сплющит, ну и ладно: портрет готов!

Попалась система и с комплексно-сопряженными корнями $\left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&-y \\ y'&=&5x+2y \end{array} \right.$. Матрица имеет следующий вид $A=$\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 5& 2 \end{pmatrix}$$. Получил $K=1\pm2i$. Мне надо найти линейное преобразование? Нашел его так $T=A^-1B$. Где $B-$ матрица $\begin{pmatrix} 1&2\\ -2&1 \end{pmatrix}$.Матрица линейного преобразования $T=\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&-2 \end{pmatrix}$. Нашел собственный вектор $(1;-1)$. Нарисовал портрет . Портрет рисовал из следующих соображений
1) Вид подсмотрел в учебнике
2) Направление получил путем подстановки точек в систему
3) Разместил кривую симметрично собственному вектору.

DeBill в сообщении #1217934 писал(а):

1.Будьте осторожнее с такими картинками: препода кондратий может хватить...

. В моих чертежах есть принципиальные ошибки или недочёты или просто коряво нарисовано? Напишите пожалуйста. Спасибо!!

[DeBill]

dima_1985 в сообщении #1218063 писал(а):

В моих чертежах есть принципиальные ошибки или недочёты или просто коряво нарисовано?

Ответ: да!
Просто в старой картинке фазовые кривые пересекались - а такого не бывает.
В новой картинке А): что это из нуля три стрелочки торчит? Вообще, у А) есть инвариантная кривая $y=-1$ - это отдельная фазовая кривая. А график $x=y-\ln \left\lvert y \right\rvert$ все же поленились нарисовать. Вот когда нарисуете - будет все красиво, безо всяких угловатостей. Но схематично - правильно (если удалить тройные стрелочки
Б) Пример системы с двумя кратными и собственными: $\dot{x} = 3x, \dot{y} =3y$.
Очень редко, но - встречаются.

dima_1985 в сообщении #1218063 писал(а):

Как может получиться два вектора??

А второго собственного тут и нет.
Картинка правильная. Может, стоит только отметить, что все фазовые кривые касаются сепаратрисы (в Вашем случае - прямой вдоль соб.в-ра)
В) очень хорошо. Есть мелочь: на оси иксов, вектора скорости вертикальны

[dima_1985]

DeBill, спасибо Вам за развернутые ответы.

DeBill в сообщении #1218068 писал(а):

А график $x=y-\ln \left\lvert y \right\rvert$ все же поленились нарисовать.

. Построил график первым делом, но после решил построить для

dima_1985 в сообщении #1218063 писал(а):

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x' &=&2x+y \\ y' &=&-x+4y \\ \end{array} \right.$$

.Там уже не так просто ДУ решается. Я так понял, так хорошо делать если определитель матрицы A=0,а ранг равен 1? Подстановка точек в систему просто и универсально? Поэтому решил воспользоваться им. В системе

dima_1985 в сообщении #1218063 писал(а):

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&-y \\ y'&=&5x+2y \end{array} \right.$$

я нашел линейное преобразование, но я так понял, что данный метод не всегда проходит?
Пример:
$ \left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&\ln(5-2x-2y) \\ y'&=&\exp(xy)-1 \\ \end{array} \right. $. У данной системы две устойчивые точки $A_1(0;2),A_2(2;0)$. Первая точка:
Перейдем к новой системе координат $X=x,Y=y+2$ .Найдем матрицу для A1$=\begin{pmatrix} -2 & -2& \\ 2& 0& \end{pmatrix}$.Собственные значения $k=-1\pm i\sqrt{3}$. И тут матрица линейного преобразования не так хорошо находится. Перейдем в полярную систему координат и построим $Y=\exp(-1/\sqrt{3}X)$.Вот что получилось . Можно сделать такой вывод. Если собственные значения матрицы A комплексно сопряженные не надо искать собственные вектора, а делать проще переход в полярную систему координат и там рисовать фазовый портрет? Всегда фазовый портрет в полярной системе координат будет иметь каноническое положение (т.е не надо его поворачивать относительно осей координат или..)? Возник вопрос по устойчивости. Если все $\lambda<0$ система асимптотически устойчива, если $\lambda\leqslant 0$ система устойчива. Как искать $\lambda$ если в системе 5 и больше уравнений? Спасибо!

[DeBill]

dima_1985 в сообщении #1218957 писал(а):

Всегда фазовый портрет в полярной системе координат будет иметь каноническое положение (т.е не надо его поворачивать относительно осей координат или..)?

Фокус с "красивой" матрицей линейной части "симметричен" относительно вращений. Аффинное преобразование портит эту симметрию, так что, вообще говоря, фокус будет "сплющенным".

dima_1985 в сообщении #1218957 писал(а):

Если все $\lambda<0$ система асимптотически устойчива, если $\lambda\leqslant
0$ система устойчива.

Это верно для линейных систем (и даже для них - последнее - верно не всегда. Пример: жорданова клетка с нулевой диагональю). Для нелинейных , с вырожденной матрицей линейной части: устойчивость теперь будет зависеть от нелинейных членов. Пример: $\dot{x}=\pm x^3, \dot{y} = -y$; для минуса - устойчивость (и даже асимптотическая), для плюса - неустойчивость.

dima_1985 в сообщении #1218957 писал(а):

Как искать $\lambda$ если в системе 5 и больше уравнений?

Увы, надо решать соответствующее уравнение пятой степени, и если чуда не случится (типа, есть рациональные корни, или еще что), то...
О Вашем последнем примере: надо быть осторожным: счет линейной части позволит построить фазовый портрет лишь в МАЛОЙ окрестности особой точки. Глобальный портрет строить без какого либо качественного анализа "промежутков" между окрестностями особых точек - тяжко....

[dima_1985]

1)

DeBill в сообщении #1219009 писал(а):

Увы, надо решать соответствующее уравнение пятой степени, и если чуда не случится (типа, есть рациональные корни, или еще что)

Наткнулся на критерий устойчивости Гурвица для линейных систем. Согласно критерию Гурвица можно сказать следующее если все $a_j>0$ в уравнение $a_0\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+a_2\lambda^{n-2}+..+a_{n-1}\lambda+a_{n}=0$ и все главные диагональные миноры матрицы Гурвица больше нуля то система устойчива. Матрица имеет вид $\begin{pmatrix} a_1&a_0&0&0&0&\\ a_3&a_2&a_1&a_0&0& \\ ..&..&..&..&..& \\ 0&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\\ 0&0&0&0&a_n& \end{pmatrix}$. Можно и не решать уравнение 5 степени или я что-то напутал ?
2) Если особая точка комплексное число мы ее не рассматриваем ? Пример:$\left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&5-x^2-y^2 \\ y'&=&1+y^2-x \\ \end{array} \right.$.Находим особые точки $\left\{ \begin{array}{rcl} y^2&=&5-x^2 \\ 5-x^2 &=&x-1 \\ \end{array} \right.$.При $x=2;y=\pm1$, при $x=-3;y=\pm i$. Нужно рассматривать $x=-3;y=\pm i$?
3)Верно ли утверждение: Если система не устойчива хотя бы в одной особой точки, то система не устойчива?

[DeBill]

dima_1985
1. Да-да, Вы совершенно правы: для исследования на устойчивость не надо решать хар. уравнение. есть куча критериев устойчивости (Рауса-Гурвица, и др.. Собственно, они и были разработаны для нужд теории ДУ). Я почему то решил, что вопрос - о собственных значениях...
2.3. Нет понятия "устойчивая система" (ну, разве что обозвать такой систему, у которой все решения устойчивы...), но есть понятие "устойчивое решение (состояние)" (в качестве решения может выступать и "особое решение" - т.е., особая точка). У системы может быть несколько устойчивых, несколько неустойчивых особых точек, устойчивые и неустойчивые предельные циклы,

dima_1985 в сообщении #1219704 писал(а):

Если особая точка комплексное число мы ее не рассматриваем ?

При работе на вещественной плоскости - нет.