2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Построение фазового портрета для ДУ
Сообщение22.05.2017, 01:06 


22/05/16
171
Здравствуйте! Помогите разобраться с вопросами связанными с построениями фазового портрета.
1 Дано ДУ $x''-x'=1$.Решил это ДУ и получил $x(t)=C_1+C_2e^t-t,x'(t)=C_2e^t-1$.Построил фазовый портрет Изображение.
Можно нарисовать направление стрелок не решая ДУ? Если можно то как? Я старался рисовать стрелки под 45 градусов( так как функции $x(t)$ и $x'(t)$ одного порядка при $t\to\infty$) это важно? Или достаточно просто указать направление?
2) Имеем систему ДУ $\left\{
\begin{array}{rcl}
 x'=2x+y \\
 y'=3x+4y\\
\end{array}
\right.$.Составим характеристическое уравнение $\begin{bmatrix}
 2-k& 1\\
 3& 4-k\\
\end{bmatrix}=0$.Найдем собственные вектора $V_1=\begin{pmatrix}
 1\\
 -1
\end{pmatrix}$ и $V_2=\begin{pmatrix}
 1\\
 3
\end{pmatrix}$.Построим фазовый портрет в новой системе координат Изображение.
Вопрос состоит в том, что если уравнение $k^2-6k+5=0$ имеет кратные корни или комплексные как новая система координат деформируется относительно старой?
3) Если система имеет несколько особых точек то графики рисуются отдельно для каждой точки ? Спасибо !

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение фазового портрета для ДУ
Сообщение22.05.2017, 01:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
dima_1985 в сообщении #1217911 писал(а):
Вопрос состоит в том, что если уравнение $k^2-6k+5=0$ имеет кратные корни или комплексные как новая система координат деформируется относительно старой?

Насчёт системы координат не очень понял. В указанных случаях будут особые точки типа дикритический/вырожденный узел (кратные корни) или фокус/центр (комплексные корни) - если об этом был вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение фазового портрета для ДУ
Сообщение22.05.2017, 07:49 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
1.Будьте осторожнее с такими картинками: препода кондратий может хватить...
dima_1985 в сообщении #1217911 писал(а):
Можно нарисовать направление стрелок не решая ДУ?

Можно: вводя переменную $y=\dot{x}$, получим систему типа 2., и стрелки рисуются автоматически. Обратите внимание на знаки компонент вектора:
в разных частях плоскости векторочки смотрят в разные квадранты, вообще говоря.
dima_1985 в сообщении #1217911 писал(а):
Я старался рисовать стрелки под 45 градусов( так как функции $x(t)$ и $x'(t)$ одного порядка при $t\to\infty$) это важно?

Это верно при больших $t$ (т.е., если $x$ и $y$ велики, то стрелки - почти под 45).
Переписав полученную систему в виде $\frac{dx}{dy}=\frac{y}{y+1}$ (или: выражая из найденных Вами решений $t$ черех $y$, а затем - $x$ через $y$), получите уравнения фазовых кривых. Средствами матана, нарисуйте график одной из них (остальные получатся из нее сдвигами).

-- 22.05.2017, 10:21 --

2. На картинке отсутствуют самые важные детали: сепаратрисы Вашего узла. Ну, на самом деле они есть -
это оси "другой" системы координат. Присобачьте им стрелочки...
dima_1985 в сообщении #1217911 писал(а):
как новая система координат деформируется относительно старой?

Для кратных: так же. При этом, кратному корню может соответствовать два собственных вектора (и будет дикритический узел, с фазовыми кривыми - прямыми), или один (вырожденный узел: тогда надо искать присоединенный (к собственному) вектор, в базисе из полученной пары рисовать портрет (он будет сильно кривой), и деформировать картинку соответствующим линейным преобразованием (возврат к старому базису)).
Для комплексных корней: выходить в комплексную плоскость $\mathbb{C}^2$
не надо, конечно. Но можно так: линейным преобразованием сделайте матрицу системы "красивой" (диагональные - равны, два других - различаются знаком). Система с такой матрицей в полярных координатах явно и хорошо решается (фазовые кривые - логарифмические спирали - для фокуса, или окружности - для центра). Обратное преобразование их маленько сплющит, ну и ладно: портрет готов!
dima_1985 в сообщении #1217911 писал(а):
Если система имеет несколько особых точек то графики рисуются отдельно для каждой точки ?

Да - в малой окрестности каждой (если "графики" - это их фазовые портреты). Но после этого, надо еще дорисовать портрет в оставшейся части плоскости. А это еще та проблема! И не всегда это удается сделать точно и полно. Например, в системе могут быть предельные циклы (замкнутые фазовые кривые), далеко отстоящие от особых точек. Даже для квадратичных систем (справа в системе - многочлены второй степени) вопрос об описании ф.портрета еще не полностью исследован. Даже нет ответа на вопрос, сколько циклов может быть в такой системе.

(Оффтоп)

Есть, правда, "программа Дюмортье": надо исследовать порядка сотни квадратичных систем (каждая - материал для кандитатской диссертации!), и ответ - будет. Программа пока реализована примерно на две трети...

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение фазового портрета для ДУ
Сообщение22.05.2017, 19:57 


22/05/16
171
Спасибо за ответы.
А) Я переделал первое уравнение составил систему $$\left\{
\begin{array}{rcl}
x' &=&y \\
y' &=&1+y \\
\end{array}
\right.$$. Подставлял произвольные точки в систему и получал направление траектории. Вот что получилось Изображение

Б)
DeBill в сообщении #1217934 писал(а):
При этом, кратному корню может соответствовать два собственных вектора
. Посмотрел несколько систем с кратными корнями и не удалось найти с двумя собственными векторами. Вот одна из них $$\left\{
\begin{array}{rcl}
x' &=&2x+y \\
y' &=&-x+4y \\
\end{array}
\right.$$. Получил матрицу $$\begin{pmatrix}
 2-k& 1\\
 -1&4-k
\end{pmatrix}$$.У неё кратный корень 3. Получил матрицу $$\begin{pmatrix}
 2-3& 1\\
 -1&4-3
\end{pmatrix}$$.Получил 1 собственный вектор $(1;1)$. Как может получиться два вектора?? Я пока не додумал. Нарисовал фазовый портрет Изображение.Фазовый портрет рисовал так:
1) посмотрел в учебнике, что представляет из себя кривая
2) подставил несколько точек в систему и получил направление
3) Разместил кривую по направлению к собственному вектору.Я не знаю правильно это или нет ??

В)
DeBill в сообщении #1217934 писал(а):
Но можно так: линейным преобразованием сделайте матрицу системы "красивой" (диагональные - равны, два других - различаются знаком). Система с такой матрицей в полярных координатах явно и хорошо решается (фазовые кривые - логарифмические спирали - для фокуса, или окружности - для центра). Обратное преобразование их маленько сплющит, ну и ладно: портрет готов!

Попалась система и с комплексно-сопряженными корнями $\left\{
\begin{array}{rcl}
 x'&=&-y \\
 y'&=&5x+2y
\end{array}
\right.$. Матрица имеет следующий вид $A=$\begin{pmatrix}
0 & -1\\
 5& 2
\end{pmatrix}$$. Получил $K=1\pm2i$. Мне надо найти линейное преобразование? Нашел его так $T=A^-1B$. Где $B-$ матрица $\begin{pmatrix}
 1&2\\
 -2&1
\end{pmatrix}$.Матрица линейного преобразования $T=\begin{pmatrix}
 0&1\\
-1&-2
\end{pmatrix}$. Нашел собственный вектор $(1;-1)$. Нарисовал портрет Изображение. Портрет рисовал из следующих соображений
1) Вид подсмотрел в учебнике
2) Направление получил путем подстановки точек в систему
3) Разместил кривую симметрично собственному вектору.
DeBill в сообщении #1217934 писал(а):
1.Будьте осторожнее с такими картинками: препода кондратий может хватить...
. В моих чертежах есть принципиальные ошибки или недочёты или просто коряво нарисовано? Напишите пожалуйста. Спасибо!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение фазового портрета для ДУ
Сообщение22.05.2017, 20:37 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
dima_1985 в сообщении #1218063 писал(а):
В моих чертежах есть принципиальные ошибки или недочёты или просто коряво нарисовано?

Ответ: да! :D
Просто в старой картинке фазовые кривые пересекались - а такого не бывает.
В новой картинке А): что это из нуля три стрелочки торчит? Вообще, у А) есть инвариантная кривая $y=-1$ - это отдельная фазовая кривая. А график $x=y-\ln \left\lvert y \right\rvert$ все же поленились нарисовать. Вот когда нарисуете - будет все красиво, безо всяких угловатостей. Но схематично - правильно (если удалить тройные стрелочки
Б) Пример системы с двумя кратными и собственными: $\dot{x} = 3x, \dot{y} =3y$.
Очень редко, но - встречаются.
dima_1985 в сообщении #1218063 писал(а):
Как может получиться два вектора??

А второго собственного тут и нет.
Картинка правильная. Может, стоит только отметить, что все фазовые кривые касаются сепаратрисы (в Вашем случае - прямой вдоль соб.в-ра)
В) очень хорошо. Есть мелочь: на оси иксов, вектора скорости вертикальны

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение фазового портрета для ДУ
Сообщение26.05.2017, 18:59 


22/05/16
171
DeBill, спасибо Вам за развернутые ответы.
DeBill в сообщении #1218068 писал(а):
А график $x=y-\ln \left\lvert y \right\rvert$ все же поленились нарисовать.
. Построил график первым делом, но после решил построить для
dima_1985 в сообщении #1218063 писал(а):
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x' &=&2x+y \\
y' &=&-x+4y \\
\end{array}
\right.$$
.Там уже не так просто ДУ решается. Я так понял, так хорошо делать если определитель матрицы A=0,а ранг равен 1? Подстановка точек в систему просто и универсально? Поэтому решил воспользоваться им. В системе
dima_1985 в сообщении #1218063 писал(а):
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x'&=&-y \\
y'&=&5x+2y
\end{array}
\right.$$
я нашел линейное преобразование, но я так понял, что данный метод не всегда проходит?
Пример:
$
\left\{
\begin{array}{rcl}
 x'&=&\ln(5-2x-2y) \\
 y'&=&\exp(xy)-1 \\
\end{array}
\right.
$. У данной системы две устойчивые точки $A_1(0;2),A_2(2;0)$. Первая точка:
Перейдем к новой системе координат $X=x,Y=y+2$ .Найдем матрицу для A1$=\begin{pmatrix}
-2 &  -2& \\
 2& 0&
\end{pmatrix}$.Собственные значения $k=-1\pm i\sqrt{3}$. И тут матрица линейного преобразования не так хорошо находится. Перейдем в полярную систему координат и построим $Y=\exp(-1/\sqrt{3}X)$.Вот что получилось Изображение. Можно сделать такой вывод. Если собственные значения матрицы A комплексно сопряженные не надо искать собственные вектора, а делать проще переход в полярную систему координат и там рисовать фазовый портрет? Всегда фазовый портрет в полярной системе координат будет иметь каноническое положение (т.е не надо его поворачивать относительно осей координат или..)? Возник вопрос по устойчивости. Если все $\lambda<0$ система асимптотически устойчива, если $\lambda\leqslant
0$ система устойчива. Как искать $\lambda$ если в системе 5 и больше уравнений? Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение фазового портрета для ДУ
Сообщение26.05.2017, 23:41 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
dima_1985 в сообщении #1218957 писал(а):
Всегда фазовый портрет в полярной системе координат будет иметь каноническое положение (т.е не надо его поворачивать относительно осей координат или..)?

Фокус с "красивой" матрицей линейной части "симметричен" относительно вращений. Аффинное преобразование портит эту симметрию, так что, вообще говоря, фокус будет "сплющенным".
dima_1985 в сообщении #1218957 писал(а):
Если все $\lambda<0$ система асимптотически устойчива, если $\lambda\leqslant
0$ система устойчива.

Это верно для линейных систем (и даже для них - последнее - верно не всегда. Пример: жорданова клетка с нулевой диагональю). Для нелинейных , с вырожденной матрицей линейной части: устойчивость теперь будет зависеть от нелинейных членов. Пример: $\dot{x}=\pm x^3, \dot{y} = -y$; для минуса - устойчивость (и даже асимптотическая), для плюса - неустойчивость.
dima_1985 в сообщении #1218957 писал(а):
Как искать $\lambda$ если в системе 5 и больше уравнений?

Увы, надо решать соответствующее уравнение пятой степени, и если чуда не случится (типа, есть рациональные корни, или еще что), то...
О Вашем последнем примере: надо быть осторожным: счет линейной части позволит построить фазовый портрет лишь в МАЛОЙ окрестности особой точки. Глобальный портрет строить без какого либо качественного анализа "промежутков" между окрестностями особых точек - тяжко....

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение фазового портрета для ДУ
Сообщение29.05.2017, 14:08 


22/05/16
171
1)
DeBill в сообщении #1219009 писал(а):
Увы, надо решать соответствующее уравнение пятой степени, и если чуда не случится (типа, есть рациональные корни, или еще что)
Наткнулся на критерий устойчивости Гурвица для линейных систем. Согласно критерию Гурвица можно сказать следующее если все $a_j>0$ в уравнение $a_0\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+a_2\lambda^{n-2}+..+a_{n-1}\lambda+a_{n}=0$ и все главные диагональные миноры матрицы Гурвица больше нуля то система устойчива. Матрица имеет вид $\begin{pmatrix}
a_1&a_0&0&0&0&\\
a_3&a_2&a_1&a_0&0& \\
..&..&..&..&..& \\
0&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\\
0&0&0&0&a_n& 
\end{pmatrix}$. Можно и не решать уравнение 5 степени или я что-то напутал ?
2) Если особая точка комплексное число мы ее не рассматриваем ? Пример:$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x'&=&5-x^2-y^2 \\
y'&=&1+y^2-x \\
\end{array}
\right.$.Находим особые точки $\left\{
\begin{array}{rcl}
 y^2&=&5-x^2 \\
 5-x^2 &=&x-1 \\
\end{array}
\right.$.При $x=2;y=\pm1$, при $x=-3;y=\pm i$. Нужно рассматривать $x=-3;y=\pm i$?
3)Верно ли утверждение: Если система не устойчива хотя бы в одной особой точки, то система не устойчива?

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение фазового портрета для ДУ
Сообщение29.05.2017, 18:42 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
dima_1985
1. Да-да, Вы совершенно правы: для исследования на устойчивость не надо решать хар. уравнение. есть куча критериев устойчивости (Рауса-Гурвица, и др.. Собственно, они и были разработаны для нужд теории ДУ). Я почему то решил, что вопрос - о собственных значениях...
2.3. Нет понятия "устойчивая система" (ну, разве что обозвать такой систему, у которой все решения устойчивы...), но есть понятие "устойчивое решение (состояние)" (в качестве решения может выступать и "особое решение" - т.е., особая точка). У системы может быть несколько устойчивых, несколько неустойчивых особых точек, устойчивые и неустойчивые предельные циклы,
dima_1985 в сообщении #1219704 писал(а):
Если особая точка комплексное число мы ее не рассматриваем ?

При работе на вещественной плоскости - нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Ludi, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group