Помогите плиз решить пакостную систему уравнений

[misoa]

Есть гадкая система уравнений:
x^2 + y = 28
y^2 + x = 14

Может кто знает как ее решать?

ответ x=5 y=3 Но хода решения я не знаю.

[Профессор Снэйп]

Так эту систему в целых числах надо решить? Или в действительных? Если в действительных, то у неё целых четыре решения (а не одно, как Вы написали). Нарисуйте графики и всё сразу станет ясно (две параболы пересекаются в четырёх точках).

[misoa]

А алгебраическим способом ее как-нибудь можно решить (без графиков)?

[Профессор Снэйп]

Выразите $y$ через $x$ из первого уравнения и подставьте во второе

[misoa]

ну получилось уравнение x^4-56x^2+x+770=0
Радостнее не стало...

[Профессор Снэйп]

Один корень вы уже знаете, так что уравнение сводится к кубическому. Ну а далее... Попробуйте подобрать второй корень. Если удастся, то уравнение сведётся к квадратному. И даже если нет, то, в конце-концов, есть формулы Кардано.

[ИСН]

Остальные три корня - уродливые. Значит, только так...

[Dan B-Yallay]

Профессор Снэйп писал(а):

Один корень вы уже знаете, так что уравнение сводится к кубическому. ....

Ни одного корня еще нет. А то что есть - это готовый ответ, и надо еще найти как его получить.

[ewert]

misoa писал(а):

Есть гадкая система уравнений:
x^2 + y = 28
y^2 + x = 14

Может кто знает как ее решать?

ответ x=5 y=3 Но хода решения я не знаю.

Если Вам известен официальный ответ, и в нём только одна точка, то, скорее всего, в условии были ещё слова "найти целочисленное решение". Тогда всё просто. Вычтите одно уравнение из другого. Разложите на множители левую часть и на целые сомножители правую. И тупо перебирайте все восемь вариантов; исходным уравнениям удовлетворяет только один из них.

[bot]

misoa писал(а):

ответ x=5 y=3

Если ответ указан такой, стало быть в условии было сказано (а Вы от нас утаили):
Найти все положительные решения системы.
Как уже Вам сказали - одно решение угадывается, а других в указанной области нет.
Из вида уравнения $x^3+5x^2-31x-154=0$ очевидно, что оно имеет два отрицательных корня и один положительный (но в этом случае y<0) и все три корня гадкие. Найти их можно либо по самой формуле Кардано, а лучше просто следовать этому методу.

Добавлено спустя 1 минуту 54 секунды:

Ещё проще, если требовалось найти все целочисленные решения.

[ewert]

bot писал(а):

Из вида уравнения $x^4-56x^2+x+770=0$ очевидно, что оно имеет два отрицательных корня и один положительный (но в этом случае y<0) и все три корня ...

ну только не три, а четыре, так что ничего не видно

[bot]

Виноват - исправил, просто забыл, что делил я сам, а до этого частного от деления на $x-5$ ещё не было.

[ewert]

ну что касается знаков, то геометрически тривиально, что все четыре решения лежат в разных четвертях. Достаточно проверить, что вершина каждой параболы лежит вне другой.

[bot]

Угу, а делить пришлось, чтобы узнать коэффициент 154, откуда уже из грубого графического представления точек пересения парабол и делителей 154 стало ясно, что хороших корней нет.

[antbez]

Цитата:

А алгебраическим способом ее как-нибудь можно решить (без графиков)?

Можно. Вычитая из первого ур-ия второе, получаете:
$(x-y)(x+y-1)=14=14*1=7*2$
Приравниваете скобки множителям и в одном из случаев получаете нужное целочисленное решение (другие не удовлетворяют системе)