Представление x^x в виде суммы двух степеней

[Ktina]

Легко доказать, что каждое из уравнений

$$x^x=y^2+z^2$$

и

$$x^x=y^3+z^3$$

имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Чуть труднее доказать, что:

а) Уравнение

$$x^x=y^4+z^4$$

имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

А верно ли, что существует такое натуральное $n$, для которого:

б) Уравнение

$$x^x=y^n+z^n$$

имеет лишь конечное (возможно, нулевое) количество решений в натуральных числах?

[DeBill]

Ktina в сообщении #1217775 писал(а):

Уравнение

$$x^x=y^n+z^n$$

имеет

Будем искать решение в виде $y=kz$, тогда $x^x = z^n(1+k^n)$.
Возьмем $x=1+k^n$, тогда $x^x = (1+k^n)\cdot (1+k^n)^{k^n}$.
Так что, если $k$ делится на $n$, решение получится...

[Ktina]

DeBill
Большое спасибо!