2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Экстремальные точки внутри треугольника
Сообщение20.05.2017, 11:46 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Есть две известные замечательные точки треугольника: точка Ферма и точка Лемуана. Первая примечательна тем, что дает решение проблемы Штейнера для треугольника, а вторая тем, что сумма квадратов расстояний от нее до сторон треугольника минимальна. А что если считать не сумму первых степеней расстояний,как в первом случае, и не сумму квадратов расстояний ,как во втором случае, а сумму $n$ степеней расстояний и искать их минимум? Была ли поставлена кем либо такая задача? И вообще, будет ли чем-то полезен ответ на этот вопрос(хочется взять эту задачу для исследовательской работы)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальные точки внутри треугольника
Сообщение20.05.2017, 11:59 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Rusit8800 в сообщении #1217505 писал(а):
а сумму $n$ степеней расстояний и искать их минимум?

Сумму четвёртых степеней расстояний, к примеру, что ли?
Если это даст красивое аналитическое решение, то почему бы нет? А нет результатов, значит, лёгкого метода не нашлось, а трудный метод искать перспектив не видно.
Метод наименьших квадратов активно применяется именно потому, что у него практичная аналитика. Не 6-я степень отклонений или их модули, а именно квадраты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальные точки внутри треугольника
Сообщение20.05.2017, 13:07 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
atlakatl в сообщении #1217507 писал(а):
Сумму четвёртых степеней расстояний, к примеру, что ли?

Ну, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальные точки внутри треугольника
Сообщение20.05.2017, 13:39 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Rusit8800
Вы криво сформулировали вопрос, я его уточнил - своим примером.
Ваше
Rusit8800 в сообщении #1217523 писал(а):
Ну, например.

ни к месту.
А про другие комбинации расстояний я написал в своём первом комментарии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальные точки внутри треугольника
Сообщение20.05.2017, 14:18 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Rusit8800
Если рассматривать расстояния до сторон, то получится задача типа
$x^n+y^n +z^n \to \min,   ax+by+cz = 2S$
где $S$- площадь. Вроде, она решается множителями Лагранжа....

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальные точки внутри треугольника
Сообщение20.05.2017, 14:19 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
atlakatl в сообщении #1217531 писал(а):
Вы криво сформулировали вопрос, я его уточнил - своим примером.

Хорошо, давайте строго.
Пусть в плоскости треугольника $ABC$ дана точка $P$; $a,b,c$ - расстояния от точки $P$ до сторон треугольника. Найти точку $P$ для которой достигается минимум $a^n+b^n+c^n$ и найти сам минимум. При $n=2$ ответ будет таким: $P$ - точка Лемуана, $\[{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)_{\min }} = \frac{{4{S^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]$.
Аналогичный вопрос, если
$a,b,c$ - расстояния от точки $P$ до сторон вершин треугольника. Тогда при $n=1$ ответ будет таким: $P$ - точка Ферма, $\[{\left( {a + b + c} \right)_{\min }} = \sqrt {\frac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 4\sqrt 3 S} \right)} \]$.

-- 20.05.2017, 14:24 --

DeBill в сообщении #1217541 писал(а):
Вроде, она решается множителями Лагранжа....

Я сам школьник, поэтому не владею методами высшей математики. Мне самому хотелось применить барицентрические координаты: выразить расстояние $a^n+b^n+c^n$ через координаты точки $P$ и длины сторон треугольника, получить,скорее всего, не самый простой многочлен и находить точку минимума в зависимости от координаты точки $P$. Скорее всего возникнет проблема с тем, что координата точки $P$ будет зависеть от трех значений и найти те три значения, для которых достигается минимум будет непросто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальные точки внутри треугольника
Сообщение20.05.2017, 14:31 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Rusit8800
Да.
Только
Rusit8800 в сообщении #1217542 писал(а):
если
$a,b,c$ - расстояния от точки $P$ до сторон вершин треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальные точки внутри треугольника
Сообщение20.05.2017, 14:31 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
А может и вообще невозможно, так как придется возводить в $n$ степень выражения вида $$d=\[\frac{{\left| {3a{p_1} + b{p_2} + c{p_3}} \right|}}{{\sqrt {2{{(b + c - 2a)}^2} + 2{{(a + b - 2c)}^2} + 2{{(a + c - 2b)}^2}} }}\]$$, где $d$- расстояние от точки $\[P\left( {{p_1},{p_2},{p_3}} \right)\]$ до прямой $ax_1+bx_2+cx_3=0$

-- 20.05.2017, 14:32 --

atlakatl в сообщении #1217546 писал(а):
Да.
Только Rusit8800 в сообщении #1217542

писал(а):
если
$a,b,c$ - расстояния от точки $P$ до сторон вершин треугольника.

В одном случае до сторон, в другом до вершин. Я хочу решить обе задачи.

-- 20.05.2017, 14:36 --

DeBill в сообщении #1217541 писал(а):
Если рассматривать расстояния до сторон, то получится задача типа
$x^n+y^n +z^n \to \min,   ax+by+cz = 2S$
где $S$- площадь.

Кстати, это ли не значит, что задача такого типа уже решалась до меня?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальные точки внутри треугольника
Сообщение20.05.2017, 15:04 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Rusit8800 в сообщении #1217547 писал(а):
это ли не значит, что задача такого типа уже решалась до меня?

Та формальная задача - стандартная задаче по теме "экстремум", и поколения студентов ее решали.
Но геом. интерпретацию они при этом - не рассматривали

-- 20.05.2017, 17:07 --

Rusit8800 в сообщении #1217542 писал(а):
поэтому не владею методами высшей математики.

Это не беда: можно и прямо, выразить $z$ через остальные, и решать обычную (безусловную ) задачу. А "производная" - это уже "школьный" метод, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальные точки внутри треугольника
Сообщение20.05.2017, 15:38 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
DeBill в сообщении #1217554 писал(а):
А "производная" - это уже "школьный" метод, да?

Школьный, но я им тоже пока не владею.

-- 20.05.2017, 15:45 --

А производные эффективны при поиске экстремумов многочлена вида $\[F(x,y,z)\]$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальные точки внутри треугольника
Сообщение20.05.2017, 17:57 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Rusit8800 в сообщении #1217559 писал(а):
производные эффективны при поиске экстремумов многочлена

Да нет, для любых функций - если ищем точки внутреннего экстремума, а функция - гладкая: надо приравнять нулю производные по всем переменным; экстремум будет среди полученных точек. С граничными - хужее, но часто (как в этом примере, напр.) можно границу параметризовать, и свести дело к предыдущему

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремальные точки внутри треугольника
Сообщение20.05.2017, 22:03 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Ну, в общем, спасибо всем, будут проблемы с поиском экстремума - напишу в ПРР.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group