Экстремальные точки внутри треугольника

[Rusit8800]

Есть две известные замечательные точки треугольника: точка Ферма и точка Лемуана. Первая примечательна тем, что дает решение проблемы Штейнера для треугольника, а вторая тем, что сумма квадратов расстояний от нее до сторон треугольника минимальна. А что если считать не сумму первых степеней расстояний,как в первом случае, и не сумму квадратов расстояний ,как во втором случае, а сумму $n$ степеней расстояний и искать их минимум? Была ли поставлена кем либо такая задача? И вообще, будет ли чем-то полезен ответ на этот вопрос(хочется взять эту задачу для исследовательской работы)?

[atlakatl]

Rusit8800 в сообщении #1217505 писал(а):

а сумму $n$ степеней расстояний и искать их минимум?

Сумму четвёртых степеней расстояний, к примеру, что ли?
Если это даст красивое аналитическое решение, то почему бы нет? А нет результатов, значит, лёгкого метода не нашлось, а трудный метод искать перспектив не видно.
Метод наименьших квадратов активно применяется именно потому, что у него практичная аналитика. Не 6-я степень отклонений или их модули, а именно квадраты.

[Rusit8800]

atlakatl в сообщении #1217507 писал(а):

Сумму четвёртых степеней расстояний, к примеру, что ли?

Ну, например.

[atlakatl]

Rusit8800
Вы криво сформулировали вопрос, я его уточнил - своим примером.
Ваше

Rusit8800 в сообщении #1217523 писал(а):

Ну, например.

ни к месту.
А про другие комбинации расстояний я написал в своём первом комментарии.

[DeBill]

Rusit8800
Если рассматривать расстояния до сторон, то получится задача типа
$x^n+y^n +z^n \to \min, ax+by+cz = 2S$
где $S$- площадь. Вроде, она решается множителями Лагранжа....

[Rusit8800]

atlakatl в сообщении #1217531 писал(а):

Вы криво сформулировали вопрос, я его уточнил - своим примером.

Хорошо, давайте строго.
Пусть в плоскости треугольника $ABC$ дана точка $P$; $a,b,c$ - расстояния от точки $P$ до сторон треугольника. Найти точку $P$ для которой достигается минимум $a^n+b^n+c^n$ и найти сам минимум. При $n=2$ ответ будет таким: $P$ - точка Лемуана, $\[{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)_{\min }} = \frac{{4{S^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]$.
Аналогичный вопрос, если
$a,b,c$ - расстояния от точки $P$ до сторон вершин треугольника. Тогда при $n=1$ ответ будет таким: $P$ - точка Ферма, $\[{\left( {a + b + c} \right)_{\min }} = \sqrt {\frac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 4\sqrt 3 S} \right)} \]$.

-- 20.05.2017, 14:24 --

DeBill в сообщении #1217541 писал(а):

Вроде, она решается множителями Лагранжа....

Я сам школьник, поэтому не владею методами высшей математики. Мне самому хотелось применить барицентрические координаты: выразить расстояние $a^n+b^n+c^n$ через координаты точки $P$ и длины сторон треугольника, получить,скорее всего, не самый простой многочлен и находить точку минимума в зависимости от координаты точки $P$. Скорее всего возникнет проблема с тем, что координата точки $P$ будет зависеть от трех значений и найти те три значения, для которых достигается минимум будет непросто.

[atlakatl]

Rusit8800
Да.
Только

Rusit8800 в сообщении #1217542 писал(а):

если
$a,b,c$ - расстояния от точки $P$ до сторон вершин треугольника.

[Rusit8800]

А может и вообще невозможно, так как придется возводить в $n$ степень выражения вида

$$d=\[\frac{{\left| {3a{p_1} + b{p_2} + c{p_3}} \right|}}{{\sqrt {2{{(b + c - 2a)}^2} + 2{{(a + b - 2c)}^2} + 2{{(a + c - 2b)}^2}} }}\]$$

, где $d$- расстояние от точки $\[P\left( {{p_1},{p_2},{p_3}} \right)\]$ до прямой $ax_1+bx_2+cx_3=0$

-- 20.05.2017, 14:32 --

atlakatl в сообщении #1217546 писал(а):

Да.
Только Rusit8800 в сообщении #1217542

писал(а):
если
$a,b,c$ - расстояния от точки $P$ до сторон вершин треугольника.

В одном случае до сторон, в другом до вершин. Я хочу решить обе задачи.

-- 20.05.2017, 14:36 --

DeBill в сообщении #1217541 писал(а):

Если рассматривать расстояния до сторон, то получится задача типа
$x^n+y^n +z^n \to \min, ax+by+cz = 2S$
где $S$- площадь.

Кстати, это ли не значит, что задача такого типа уже решалась до меня?

[DeBill]

Rusit8800 в сообщении #1217547 писал(а):

это ли не значит, что задача такого типа уже решалась до меня?

Та формальная задача - стандартная задаче по теме "экстремум", и поколения студентов ее решали.
Но геом. интерпретацию они при этом - не рассматривали

-- 20.05.2017, 17:07 --

Rusit8800 в сообщении #1217542 писал(а):

поэтому не владею методами высшей математики.

Это не беда: можно и прямо, выразить $z$ через остальные, и решать обычную (безусловную ) задачу. А "производная" - это уже "школьный" метод, да?

[Rusit8800]

DeBill в сообщении #1217554 писал(а):

А "производная" - это уже "школьный" метод, да?

Школьный, но я им тоже пока не владею.

-- 20.05.2017, 15:45 --

А производные эффективны при поиске экстремумов многочлена вида $\[F(x,y,z)\]$?

[DeBill]

Rusit8800 в сообщении #1217559 писал(а):

производные эффективны при поиске экстремумов многочлена

Да нет, для любых функций - если ищем точки внутреннего экстремума, а функция - гладкая: надо приравнять нулю производные по всем переменным; экстремум будет среди полученных точек. С граничными - хужее, но часто (как в этом примере, напр.) можно границу параметризовать, и свести дело к предыдущему

[Rusit8800]

Ну, в общем, спасибо всем, будут проблемы с поиском экстремума - напишу в ПРР.