Простые числа в интервале

[Побережный Александр]

Хочу вынести на суд форума две гипотезы, связанных с распределением простых чисел.

Гипотеза 1.
Для любого натурального $N>10$ в интервале $[N-lnN\cdot(lnlnN)^2;N+lnN\cdot(lnlnN)^2]$ найдется хотя бы два простых числа.

Гипотеза 2.
Разность двух соседних простых чисел больших $10$ будет
$P_{i+1}-P_i< 2(lnN)(lnlnN)^2$

Проверял для простых до 200 млн. Вроде работает, если не ошибся где-нибудь.

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

\ln.

[Dmitriy40]

Побережный Александр в сообщении #1217326 писал(а):

Гипотеза 2.
Разность двух соседних простых чисел больших $10$ будет
$P_{i+1}-P_i< 2(lnN)(lnlnN)^2$

Это нарушается уже для числа 2614941710599, для которого Ваша формула даёт число 643, а следующее простое число отстоит на 652.
Вы можете сами проверить эту формулу по данным википедии до чисел $1.4\cdot 10^{18}$ по таблице интервалов между простыми (что я и проделал).
Потом и ещё нарушения: 13829048559701 и несколько далее.

-- 19.05.2017, 18:18 --

Вероятно эти же примеры опровергают и первую гипотезу.

[Sonic86]

Не стыкуется с гипотезой Крамера $p_{n+1}-p_n=O(\ln ^2 p_n)$, которая, судя по данным пробелов между простыми, довольно точна (степень логарифма скорее всего точная)

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: в соответствующий раздел

[Побережный Александр]

Dmitriy40 в сообщении #1217346 писал(а):

Побережный Александр в сообщении #1217326 писал(а):

Гипотеза 2.
Разность двух соседних простых чисел больших $10$ будет
$P_{i+1}-P_i< 2(lnN)(lnlnN)^2$

Это нарушается уже для числа 2614941710599, для которого Ваша формула даёт число 643, а следующее простое число отстоит на 652.
Вы можете сами проверить эту формулу по данным википедии до чисел $1.4\cdot 10^{18}$ по таблице интервалов между простыми (что я и проделал).
Потом и ещё нарушения: 13829048559701 и несколько далее.

-- 19.05.2017, 18:18 --

Вероятно эти же примеры опровергают и первую гипотезу.

Спасибо, за проделанную работу! Мне приходилось самому вычислять эти числа.

Sonic86 в сообщении #1217371 писал(а):

Не стыкуется с гипотезой Крамера $p_{n+1}-p_n=O(\ln ^2 p_n)$, которая, судя по данным пробелов между простыми, довольно точна (степень логарифма скорее всего точная)

Sonic86, а можно ли в моем случае написать $p_{n+1}-p_n=O((\ln{p_n})(\ln{\ln{p_n}})^3)$?
Квадрат я заменил на куб, с кубом покрываются все выбросы разностей простых чисел.

[atlakatl]

Побережный Александр
А как Вы рождаете гипотезы? Почему Вы заподозрили именно эти два выражения?

[Cash]

Побережный Александр в сообщении #1217520 писал(а):

Sonic86, а можно ли в моем случае написать $p_{n+1}-p_n=O((\ln{p_n})(\ln{\ln{p_n}})^3)$?

Побережный Александр, вам же сказали: $O(\ln^2{p_n})$.

Побережный Александр в сообщении #1217520 писал(а):

Квадрат я заменил на куб, с кубом покрываются все выбросы разностей простых чисел.

Прям все-все? Которых бесконечно. Или все же до какого-то числа? До какого? Вам знакомо число Скьюза? Знаете откуда оно взялось?

[vicvolf]

Cash в сообщении #1217538 писал(а):

Побережный Александр в сообщении #1217520 писал(а):

Sonic86, а можно ли в моем случае написать $p_{n+1}-p_n=O((\ln{p_n})(\ln{\ln{p_n}})^3)$?

Побережный Александр, вам же сказали: $O(\ln^2{p_n})$.

Это же только гипотеза. Правда данный вариант гипотезы $p_{n+1}-p_n=C(\ln^2(p_n))$ не опровергнут. Это не совсем гипотеза Крамера. У Крамера было $C=1$ и данная гипотеза была опровергнута, так были найдены большие простые числа расстояние между которыми больше. Грэнвилле уточнил значение $C=1,12...$ и пока такой вариант гипотезы подтверждается, хотя не исключено, что в дальнейшем будут найдены такие большие простые числа, расстояние между которыми больше. Пока гипотеза не доказана, все возможно!