Взять несобственный интеграл

[Grand.Master]

Есть интеграл вида

$$\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\sin ^2 (x) \cos (a x)}{x^2} dx$$

Никак не могу его вычислить.
Пробовал понижать степень синуса, а потом разложил на 2 интеграла, но один из интегралов расходится(...
С дифференцированием по параметру тоже ничего хорошего не вышло.
Есть ли какие-нибудь еще подходы для решения данного интеграла?

[ewert]

В любом случае предварительно стоит проинтегрировать по частям, чтобы понизить степень знаменателя (а то квадрат -- как-то не очень комильфо). А дальше -- если нет ТФКП, то можно просто понизить все степени в числителе, сведя весь интеграл к комбинации интегральных синусов.

[Grand.Master]

ewert в сообщении #1217409 писал(а):

В любом случае предварительно стоит проинтегрировать по частям, чтобы понизить степень знаменателя (а то квадрат -- как-то не очень комильфо). А дальше -- если нет ТФКП, то можно просто понизить все степени в числителе, сведя весь интеграл к комбинации интегральных синусов.

Я вот упростил подынтегрльную функцию до вида

$$\frac{(2 \cos(а x) - \cos(2 x - а x) - \cos(а x + 2 x))}{(4 x^2)}$$

Но я никогда не сталкивался с интегральным синусом...

[ewert]

Grand.Master в сообщении #1217413 писал(а):

Но я никогда не сталкивался с интегральным синусом...

Ну тут ничего не поделать -- придётся столкнуться. Ибо эта задачка явно на него и рассчитана. Имеется в виду не интегральный синус как таковой, а его предельное значение $\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin x}x\,dx=\frac{\pi}2$. Вот он-то точно считается дифференцированиями по параметру. Но как конкретно -- не помню: уж это-то такое убожество по сравнению с его подсчётом по ТФКП...

[alcoholist]

Grand.Master в сообщении #1217413 писал(а):

Но я никогда не сталкивался с интегральным синусом...

под интегральным синусом ewert
понимает интеграл Дирихле

$$ \int_0^{+\infty}\frac{\sin px}{x}\,dx\,\,, $$

который вы должны знать

[DeBill]

Grand.Master
После Вашего преобразования, и интегрирования по частям по ewert, сводится к интегралу Дирихле $\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\sin x dx}{x}$ , который, впрочем, также удобнее считать по ТФКП
(Демидович считает его после домножения на хитрую экспоненту, но это такой геморрой...)

[Someone]

Grand.Master в сообщении #1217407 писал(а):

$$\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\sin ^2 (x) \cos (a x)}{x^2} dx$$

Grand.Master в сообщении #1217413 писал(а):

$$\frac{(2 \cos(а x) - \cos(2 x - а x) - \cos(а x + 2 x))}{(4 x^2)}$$

Как-то очень странно Вы упростили. А куда буква "$a$" подевалась?

[ewert]

DeBill в сообщении #1217425 писал(а):

Grand.Master
После Вашего преобразования, и интегрирования по частям

Маленький нюанс: тут лучше мух и котлет по отдельности. Обоснованность интегрирования по частям лучше доказывать для исходного выражения, где она практически очевидна. А вот собственно интегрирование по частям (после того, как оно уже обосновано) проводить для интеграла с преобразованным числителем.

[alcoholist]

DeBill в сообщении #1217425 писал(а):

Демидович считает его после домножения на хитрую экспоненту, но это такой геморрой...

я когда учился по Фруллани его посчитал:)

[DeBill]

Someone в сообщении #1217432 писал(а):

А куда буква "$a$" подевалась?

Ой, а $a$ то я и не заметил...Но все равно, метода работает. Только надо будет различать случаи $a>2$, и $a<2$.
Забавно, у меня вышло, что в первом, интеграл равен 0....
Вообще, наш интеграл - это преобразование Фурье от $(\frac{\sin x}{x})^2$. У него что, компактный носитель??!!!

[sergei1961]

Вроде Пэли и Винер говорят, что да. Функция целая, нужного порядка.

[DeBill]

alcoholist в сообщении #1217442 писал(а):

я когда учился по Фруллани его посчитал:)

Вау! А я так не умею...И: там же где-то логарифм вылезет, нет?