Теория верояности - распределение хи-квадрат

[юстина]

дано к=6,α=1, β=m+2σ
проверьте пожалуйста:
1. расчетные формулы
$\phi_{x^2 (x)}=b_0*x^{ \frac k2}*e^-^{\frac x2}$
$b_0=\frac{1}{\Gamma(\frac k2)*2^{\frac k2}}$
$\Gamma(\frac k2)=\Gamma(3)=\Gamma(2+1)=2!=2$
$b_0=\frac {1}{\Gamma(3)*2^{\frac 62}}=\frac {1}{2*2^3}=\frac {1}{16}=0.06$
$M[x^2]=k$
$D[x^2]=2k$
2.найдем числовые характеристики:
$M[x^2]=k=6$
$D[x^2]=2k=12$
$\sigma[x^2]=3.46$
3.определим вероятность попадания случайной величины в интервал $[\alpha, \beta)$
$\alpha=1$
$\beta=m+2\sigma=6+2*3.46=12.92$
$p(0\le {x^2}\le12.92)>93.2 %$ (метод треугольника)

[ewert]

юстина писал(а):

$p(0\le {x^2}\le12.92)>93.2 %$ (метод треугольника)

не "ка пополам", а "ка пополам, из которой вычесть единичку". Юмора насчёт треугольников не понял (в частности, с какой стати там ноль-то?). Надо просто честно проинтегрировать икс в квадрате на соотв. экспоненту и на нормировочную константу по требуемому интервалу.

[юстина]

[$\phi_{x^2 (x)}=x^{ \frac k2}*e^-^{\frac x2}$
это проинтегрировать?


о какой "ка пополам" минус единичка вы говорите?

Добавлено спустя 4 минуты 19 секунд:

про метод треугольника
когда я строила график, там существует интервал от 0 до 1 который не входит в область попадания. соотвественно, я из общей площади вычла 5% и площадь области от о до 1, а ее я посчитала как площадь треугольника.

[ewert]

в "хи-квадрат"-плотности над иксом надо добавить ещё минус единичку. Но -- независимо от этого, интеграл от такого выражения при чётных степенях свободы легко берётся интегрированием по частям. Он и даст (при соотв. подстановке пределов) соотв. вероятность.

[юстина]

$\phi_{x^2 (x)}={x^{ \frac {k-1}{2}}}*e^-^{\frac x2}$
$\phi_{x^2 (x)}={x^{ \frac {6-1}{2}}}*e^-^{\frac x2}$
${(\phi_x^2(x))^'}={({x^{ \frac {5}{2}}})^'}*e^-^{\frac x2} + {{x^{ \frac {5}{2}}}*{(e^-^{\frac x2})^'}}$

Добавлено спустя 5 минут 22 секунды:

но чесно говоря разве минус 1, в формуле http://algolist.manual.ru/maths/matstat/chiSquare/index.php минус 2

[ewert]

Так, давайте наведём порядок. Плотность распределения "хи-квадрат" с $k$ степенями свободы имеет вид:

$f_{\chi^2}(x)=Nx^{{k\over2}-1}e^{-{x\over2}}$

, где $N$ -- нормировочная постоянная, равная, конечно, $\left(\Gamma\left({k\over2}\right)2^{k\over2}\right)^{-1}$, но ведь не в этом суть.

[юстина]

вероятность попадания

$\gamma= {\int^{x^2_a}_0}{\frac{x^{{\frac k2}-1}*{e^-^{\frac{x}{2}}}} {{\Gamma^(\frac{k}{2})}*2^\frac{k}{2}} = {\int^{x^2_a}_0}{\frac{{x^2}*{e^-^{\frac{x}{2}}}}{2*2^3}={\int^{0,87}_0} \frac{1}{16}*x^2*{e^-^{\frac{x}{2}}}*dx$

[ewert]

юстина писал(а):

вероятность попадания

$\gamma= {\int^{x^2_a}_0}{\frac{x^{{\frac k2}-1}*{e^-^{\frac{x}{2}}}} {{\Gamma^(\frac{k}{2})}*2^\frac{k}{2}} = {\int^{x^2_a}_0}{\frac{{x^2}*{e^-^{\frac{x}{2}}}}{2*2^3}={\int^{0,87}_0} \frac{1}{16}*x^2*{e^-^{\frac{x}{2}}}*dx$

только с какой стати от нуля-то??! про ноль восемьдесять семь мне даже и думать лень. У Вас ведь в условиях вроде чётко сказано: от матожидания до матожидания плюс сколько-то там сигм. Вот в этих пределах и интегрируйте.

[юстина]

спасибо большое))