Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК

[artfin]

svv, спасибо, интересный подход.
Позвольте уточнить, почему у вас получилось $\dot{S} = S \times B$, а не $\dot{S} = B \times S$?

Попробую воспроизвести выкладку, но учитывая расположение индексов.

$$ \frac{d}{dt} \tilde{\mathbf{e}}_p = \tilde{\mathbf{\omega}} \times \tilde{\mathbf{e}}_p = \tilde{\omega}^m \tilde{\mathbf{e}}_m \times \tilde{\mathbf{e}}_p = \tilde{\omega}^m \varepsilon^k_{mp} \tilde{\mathbf{e}}_k = \tilde{\omega}^m \tilde{\varepsilon}^k_{mp} S^j_k \mathbf{e}_j $$

$$ \tilde{\omega}^m \tilde{\varepsilon}^k_{mp} = B^k_p $$

$$ \frac{d}{dt} \tilde{\mathbf{e}}_p = \left( \frac{d}{dt} S_p^j \right) \mathbf{e}_j = B^k_p S^j_k \mathbf{e}_j $$

$$ \frac{d}{dt} S_p^j = B^k_p S^j_k \quad \implies \quad \dot{S} = B \times S $$

P.S. Интересно попробовать использовать условие $\mathbf{J} = \mathbb{S} \mathbf{j}$ для упрощения системы ДУ, а не просто проверять его.

[artfin]

P.P.S. Тьфу ты, дико знакомое итоговое соотношение, а вот вывод смутил. Можно по-другому =)

$$ \mathbb{E} = \mathbb{S} \,\mathbb{S}^{-1} \quad \implies \quad 0 = \frac{d}{dt} \mathbb{E} = \dot{\mathbb{S}} \, \mathbb{S}^{-1} + \mathbb{S} \, \dot{\mathbb{S}}^{-1} $$

Положим по определению $\mathbb{A} = \dot{\mathbb{S}} \, \mathbb{S}^{-1}$. Несложно проверить, что $\mathbb{A}^\top = \mathbb{S} \, \dot{\mathbb{S}}^{-1}$, то есть полученное выше выражение эквивалентно кососимметричности матрицы $\mathbb{A}$:

$$ \mathbb{A} + \mathbb{A}^\top = 0 $$

В главе о кинематике твердого тела Голдстейн показывает, что элементы кососимметрической матрицы $\mathbb{A}$ преобразуются как компоненты (псевдо-)вектора, называет его вектором угловой скорости. Возвращаясь к определению матрицы $\mathbb{A}$: $\mathbb{A} = \dot{\mathbb{S}} \, \mathbb{S}^{-1} \quad \implies \quad \dot{\mathbb{S}} = \mathbb{A} \mathbb{S}$.

[svv]

artfin в сообщении #1215053 писал(а):

Позвольте уточнить, почему у вас получилось $\dot{S} = S \times B$, а не $\dot{S} = B \times S$?

В правой части тут обычное матричное умножение, его лучше обозначать простой юкстапозицией двух буковок: $SB$ либо $BS$. Знак $\times$ намекает на векторное произведение, и его тут лучше не использовать.

Вы получили формулу $\frac{d}{dt} S^j_p = B^k_p S^j_k$, я с ней согласен. Давайте посмотрим, как её интерпретировать в матричных терминах. Интерпретация зависит от того, какой индекс — верхний или нижний — мы считаем нумерующим строки, а какой — столбцы.

По-видимому, общепринятым является соглашение о том, что если оба индекса — одинаковой вариантности (и, таким образом, очевидно, какой первый, а какой второй), то первый нумерует строки, а второй столбцы. Слегка изменив нотацию, мы можем различать первый и второй и в нашем случае — писать $S^j{}_p$ либо $S_p{}^j$. Тогда вопрос сводится к тому, каким из двух вариантов понимать Вашу формулу:
$\begin{array}{lc}\bullet\; \dot S_p{}^j = B_p{}^k S_k{}^j&(1)\\\bullet\; \dot S^j{}_p = B^k{}_p S^j{}_k&(2)\end{array}$
Так как в произведении двух матриц «столбцовый» индекс первой матрицы сворачивается со «строковым» индексом второй матрицы, понятно, что из этих вариантов лишь первый можно записать в виде $\dot S = B S$. Во втором же для приведения к «цепному» виду надо переставить сомножители:
$\dot S^j{}_p=S^j{}_k B^k{}_p \quad\Rightarrow\quad \dot S=SB$

Теперь вспомним следующее. Элемент матрицы перехода от старого базиса к новому, стоящий в $m$-й строке и $n$-м столбце, является коэффициентом разложения $n$-го вектора нового базиса, стоящим при $m$-м векторе старого базиса. Это, вроде, тоже стандарт. Очень удобно: каждый вектор нового базиса записан в своём столбце. Но если мы это принимаем, то формулу $\tilde{\mathbf{e}}_p = S_p^j \mathbf{e}_j$ можно истолковать лишь как $\tilde{\mathbf{e}}_p = S^j{}_p\mathbf{e}_j$ (ещё лучше запись $\mathbf{e}_j S^j{}_p$), а не как $\tilde{\mathbf{e}}_p = S_p{}^j\mathbf{e}_j$. Это приводит к варианту (2).

Если всё-таки очень хочется иметь вариант (1), можно транспонировать обе части уравнения, и транспонированные матрицы назвать $B$ и $S$. В силу ортогональности при таком определении $S$ будет матрицей перехода от подвижного базиса к лабораторному — так тоже хорошо.

-- Пн май 08, 2017 21:02:01 --

Ещё парочка замечаний.

В большинстве случаев я за различение ко- и контравариантных индексов. Но если мы это делаем, мы берём на себя ответственность за то, что записанное уравнение инвариантно относительно произвольных преобразований координат (исключение — КТП, но о ней речь, вроде, не идёт, все компоненты пространственные). В таком случае, честная индексная запись уравнения $\dot{\mathbf a}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf a$ выглядела бы так (для простоты без тильд и базисных векторов):
$\dot a^p=\sqrt g\,g^{pi}\,\varepsilon_{ik\ell}\,\omega^k\,a^\ell$,
где $g=\operatorname{det}(g_{ik})$. Так как в нашей задаче это уравнение всё равно будет использоваться лишь в ортонормированных базисах, где $g_{ik}=\delta_{ik}, g=1$, мне показалось, что это перебор.

В символе Леви-Чивита я не поднимаю отдельные индексы, так как тензор $\varepsilon^i{}_{k\ell}$ уже не является абсолютно антисимметричным (в чём заключается весь интерес). Использую либо $\varepsilon_{ik\ell}$, либо $\varepsilon^{ik\ell}$.

[artfin]

Спасибо за разъяснение.

Цитата:

В правой части тут обычное матричное умножение, его лучше обозначать простой юкстапозицией двух буковок: $SB$ либо $BS$. Знак $\times$ намекает на векторное произведение, и его тут лучше не использовать.

Хорошо, учту.

Цитата:

В символе Леви-Чивита я не поднимаю отдельные индексы, так как тензор $\varepsilon^i{}_{k\ell}$ уже не является абсолютно антисимметричным (в чём заключается весь интерес). Использую либо $\varepsilon_{ik\ell}$, либо $\varepsilon^{ik\ell}$.

Даа, кажется зря я полез с контр- и ковариантными индексами, уж очень хотелось посмотреть как это будет выглядеть и конечно намудрил с символом Леви-Чивиты.

Не могли бы Вы все же посмотреть на мой подход, мне он кажется (по крайней мере пока что) более перспективным в вычислительном плане. У меня получилось 2 алгебраических уравнения и одно дифференциальное, сводящееся к простому интегрированию. Ваш же способ пока дает 3 сложных дифференциальных уравнения на эйлеровы углы, с этой точки зрения проще было решать систему: $\dot{\mathbf{J}} + \left[ \mathbf{\Omega}(\mathbf{e}, \dot{\mathbf{e}}) \times \mathbf{J} \right] = 0$.

[svv]

artfin в сообщении #1214734 писал(а):

$$ \left\{ \begin{aligned} J_x &= J \sin \psi \sin \theta \\ J_y &= J \cos \psi \sin \theta \\ J_z &= J \cos \theta \end{aligned} \right.$$

Вот тут, как мне показалось, Вы в правой части использовали третий столбец матрицы $\mathbb S$ (в него как раз входят только углы $\psi, \theta$), а обещали использовать $\mathbb S^{-1}=\mathbb S^\top$. Хотя это, похоже, непринципиально.

artfin в сообщении #1215139 писал(а):

Ваш же способ пока дает 3 сложных дифференциальных уравнения на эйлеровы углы

Предполагалось, что у меня в результате численного решения ДУ сразу получается матрица $S$, а углы Эйлера вообще не нужно находить. Ведь ортогональная матрица с известными элементами — тоже хороший способ задать вращение.
Даже если углы Эйлера нужны, всё равно, по замыслу, сначала надо найти $S(t)$. Последующее нахождение углов по $S$ — задача алгебраическая. При составлении расчетного ДУ углы Эйлера в $S$ подставлять не нужно.

Читаю дальше.

[svv]

По крайней мере, на уровне идеи понял. Способ Ваш очень хороший. Момент импульса даёт два из трёх углов Эйлера. С учётом известной угловой скорости для третьего угла можно записать производную через известные функции, поэтому даже ДУ решать не нужно. Замечательно!

[artfin]

Цитата:

Даже если углы Эйлера нужны, всё равно, по замыслу, сначала надо найти $S(t)$. Последующее нахождение углов по $S$ — задача алгебраическая. При составлении расчетного ДУ углы Эйлера в $S$ подставлять не нужно.

Да, ступил, конечно. Мне нужна только матрица $S(t)$, так что можно обойтись и без углов Эйлера.

Цитата:

Вот тут, как мне показалось, Вы в правой части использовали третий столбец матрицы $\mathbb S$ (в него как раз входят только углы $\psi, \theta$), а обещали использовать $\mathbb S^{-1}=\mathbb S^\top$. Хотя это, похоже, непринципиально.

Допустил ошибку в том сообщении: матрица $S$ есть транспонированная к той, что я написал. То есть такая:

$$ \mathbb{S} = \begin{bmatrix} \cos \psi \cos \varphi - \cos \theta \sin \varphi \sin \psi & - \sin \psi \cos \varphi - \cos \theta \sin \varphi \cos \psi & \sin \theta \sin \varphi \\ \cos \psi \sin \varphi + \cos \theta \cos \varphi \sin \psi & - \sin \psi \sin \varphi + \cos \theta \cos \varphi \cos \psi & - \sin \theta \cos \varphi \\ \sin \theta \sin \psi & \sin \theta \cos \psi & \cos \theta \end{bmatrix} $$

Именно в таком виде она переводит координаты в МСК в координаты в ЛСК: $\mathbf{j} = \mathbb{S} \mathbf{J}$. Затем я использую последний столбец матрицы $\mathbb{S}^{-1}$, то есть, последнюю строку матрицы $\mathbb{S}$ (которая и содержит только углы $\theta, \psi$). Так что все написанное дальше верно.