Позвольте уточнить, почему у вас получилось

, а не

?
В правой части тут обычное матричное умножение, его лучше обозначать простой юкстапозицией двух буковок:

либо

. Знак

намекает на векторное произведение, и его тут лучше не использовать.

Вы получили формулу

, я с ней согласен. Давайте посмотрим, как её интерпретировать в матричных терминах. Интерпретация зависит от того, какой индекс — верхний или нижний — мы считаем нумерующим строки, а какой — столбцы.
По-видимому, общепринятым является соглашение о том, что если оба индекса — одинаковой вариантности (и, таким образом, очевидно, какой
первый, а какой
второй), то первый нумерует строки, а второй столбцы. Слегка изменив нотацию, мы можем различать
первый и
второй и в нашем случае — писать

либо

. Тогда вопрос сводится к тому, каким из двух вариантов понимать Вашу формулу:

Так как в произведении двух матриц «столбцовый» индекс первой матрицы сворачивается со «строковым» индексом второй матрицы, понятно, что из этих вариантов лишь первый можно записать в виде

. Во втором же для приведения к «цепному» виду надо переставить сомножители:

Теперь вспомним следующее. Элемент матрицы перехода от старого базиса к новому, стоящий в

-й строке и

-м столбце, является коэффициентом разложения

-го вектора нового базиса, стоящим при

-м векторе старого базиса. Это, вроде, тоже стандарт. Очень удобно: каждый вектор нового базиса записан в своём столбце. Но если мы это принимаем, то формулу

можно истолковать лишь как

(ещё лучше запись

), а не как

. Это приводит к варианту (2).
Если всё-таки очень хочется иметь вариант (1), можно транспонировать обе части уравнения, и транспонированные матрицы назвать

и

. В силу ортогональности при таком определении

будет матрицей перехода от подвижного базиса к лабораторному — так тоже хорошо.
-- Пн май 08, 2017 21:02:01 --Ещё парочка замечаний.
В большинстве случаев я за различение ко- и контравариантных индексов. Но если мы это делаем, мы берём на себя ответственность за то, что записанное уравнение инвариантно относительно произвольных преобразований координат (исключение — КТП, но о ней речь, вроде, не идёт, все компоненты пространственные). В таком случае, честная индексная запись уравнения

выглядела бы так (для простоты без тильд и базисных векторов):

,
где

. Так как в нашей задаче это уравнение всё равно будет использоваться лишь в ортонормированных базисах, где

, мне показалось, что это перебор.
В символе Леви-Чивита я не поднимаю отдельные индексы, так как тензор

уже не является абсолютно антисимметричным (в чём заключается весь интерес). Использую либо

, либо

.