Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов

[Ascold]

В параграфе $\mathbf{(4.7)}$ сказано, что "результаты, касающиеся корреляционных функций обобщаются без труда", но сама фермионная корреляционная функция не написана. Вот для скалярного поля $\varphi$ была корреляционная функция

$$\langle \Omega|\varphi(x)\varphi(y)|\Omega\rangle,$$

где $\varphi(y)|\Omega\rangle$ я воспринимаю как состояние поля с частицей в точке $y$ и т.д.
Как написать аналогичную корреляционную функцию для фермионного поля со спинором $\psi$ - как число

$$\langle \Omega|\psi_\alpha(x)\psi_\alpha(y)|\Omega\rangle$$

или как матрицу

$$\langle \Omega|\psi_\alpha(x)\psi_\beta(y)|\Omega\rangle$$

или, что на мой взгляд было бы более разумно, как амплитуду перехода позитрона - число

$$\langle \Omega|\bar{\psi}_\alpha(x)\psi_\alpha(y)|\Omega\rangle?$$

[Gickle]

Предлагаю вот как поступить. Давайте вы для начала ответите на несколько вопросов, чтобы недопонимания не произошло никакого. Кроме того, это вас на какие-то размышления навести может, как мне кажется.

1. Как вы понимаете состояние $|\Omega\rangle$ и чем оно отличается от $|0\rangle$? И можете ли вы переписать выражение $\langle \Omega | \varphi (x) \varphi(y) | \Omega \rangle$ в терминах чего-нибудь, где будет $\langle 0 | ... | 0 \rangle $?
2. Можете ли вы написать выражение для скалярного поля $\varphi (x)$ в терминах операторов рождения и уничтожения?
3. Знаете ли вы теорему Вика о связи T-упорядочения и нормального упорядочения?

[Ascold]

Gickle в сообщении #1215086 писал(а):

1. Как вы понимаете состояние $|\Omega\rangle$ и чем оно отличается от $|0\rangle$? И можете ли вы переписать выражение $\langle \Omega | \varphi (x) \varphi(y) | \Omega \rangle$ в терминах чего-нибудь, где будет $\langle 0 | ... | 0 \rangle $?
2. Можете ли вы написать выражение для скалярного поля $\varphi (x)$ в терминах операторов рождения и уничтожения?
3. Знаете ли вы теорему Вика о связи T-упорядочения и нормального упорядочения?

1. Состояние $|\Omega\rangle$ - наинизшее состояние(c энергией $E_0$) в теории со взаимодействием и оно отличается от $|0\rangle$ тем, что
$\langle \Omega|H|\Omega\rangle=E_0,$ тогда как $\langle 0|H_0|0\rangle=0,$ здесь $H_0$ - нормально упорядоченный гамильтониан свободной теории, $H=H_0+H_{int}$ - гамильтониан теории со взаимодействием. Для скалярного поля при условии несильного отличия $H$ от $H_0$ на двух страницах можно доказать, что

$$\langle \Omega | \varphi (x) \varphi(y) | \Omega \rangle=\lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)}\frac{\langle 0|T\{\ \varphi_I (x) \varphi_I(y)exp(-i\int^T_{-T}dtH_I)\}|0\rangle}{\langle 0|T\{exp(-i\int^T_{-T}dtH_I)\}|0\rangle}$$

2.

$$\varphi(x)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_p}}\left(a(p)e^{-ipx}+a^\dagger(p)e^{ipx}\right)$$

3. Теорема Вика(для скалярного поля):
$T\{\phi(x)\phi(y)...\}=N\{\phi(x)\phi(y)...\}+$ свёртки. Свёртки, в силу коммутационных отношений для скалярного поля - это пропагаторы Фейнмана, умноженные друг на друга и на несвёрнутые поля.
Считать скалярные корреляционные функции диаграммами тоже, вроде, умею. Мне просто кажется невнятно обоснованным то, что Пескин и Шредер пишут далее про применение этой техники для спинорных полей.

Цитата:

Кроме того, это вас на какие-то размышления навести может, как мне кажется.

Меня пока что всё это наводит на мысль, что матрицей двухточечная спинорная корреляционная функция быть не должна, впрочем, в этом я не вполне уверен: в этой странной КТП не удивлюсь ничему.

[Gickle]

Ascold
Извиняюсь, что долго отвечал. А можете тогда по аналогии получить выражение Фейнмановского пропагатора в виде интеграла по 4-импульсу? Ну и да, фермионный пропагатор - это матрица всё-таки.
P.S. Книга Пескина-Шредера - штука замечательная во многих смыслах, но всё-таки советую не ограничиваться ею одной (это вообще для любой области справедливо). Как по мне, одна из лучших книг для введения в КТП - Э. Зи: "Квантовая теория поля в двух словах". Единственный недостаток - там сразу применяется формализм функционального интегрирования, а канонический формализм отсутствует. Но для понимания каких-то физических аспектов - книга совершенно прекрасная.

[Ascold]

Ascold в сообщении #1215096 писал(а):

Извиняюсь, что долго отвечал. А можете тогда по аналогии получить выражение Фейнмановского пропагатора в виде интеграла по 4-импульсу? Ну и да, фермионный пропагатор - это матрица всё-таки.

Получить могу и в виде контурнного интеграла записать могу, вот только смысл этого пропагатора для меня остаётся совершенно туманным. Если спинорное поле:

$$\psi(x)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_p}}\sum_s\left (a(p)u_p^se^{-ipx}+b^\dagger(p)v_p^se^{ipx}\right)$$

и сопряжённое к нему поле

$$\bar{\psi}(x)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_p}}\sum_s\left (a^\dagger(p)\bar{u}_p^se^{ipx}+b(p)\bar{v}_p^se^{-ipx}\right),$$

то первое, что приходит мне на ум, это сделать из полей $\bar{\psi}(x)$ и $\psi(y)$ лоренц-инвариантную амплитуду перехода наподобие таковой для скалярного поля. Раз амплитуда - это число, то из строки и столбца оно получается умножением строки на столбец, т.е.

$$\langle 0|\bar{\psi}(x)\psi(y)|0\rangle=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}e^{-ip(x-y)}\sum_s\bar{v}_p^sv_p^s=-2mD(x-y).$$

Это выражение лоренц-инвариантно и исчезает на пространственноподобном интервале, однако в учебниках, например у Пескина и Шредера(3.114-3.115) почему-то делают не так, а вводят 16-компонентную величину

$$S_{ab}(x-y)=\langle 0|\psi_a(x)\bar{\psi}_b(y)|0\rangle=(i\not\partial_x+m)_{ab}D(x-y)$$

Мне кажется странным не только то, зачем 16 амплитуд, но и отсутствие в книгах вычисления собственно "истинной амплитуды" перехода электрона из точки $y$ в $x$, вместо этого говорится примерно следующее: "аналогично скалярному полю получим ряд Дайсона, фейнмановский пропагатор, свёртки".

Мне пока что необходимость пропагатора такого вида видится исключительно с позиции норм. упорядочивания произведений фермионных полей, именно там и вылазят величины, равные компонентам $S_{ab}(x-y)$, а вот наделение их смыслом перехода чего-то там куда-то там пока не вижу почему-то, ведь за спин отвечает не одна компонента спинора, а две.

Умные люди, в том числе на этом форуме, говорят, что много амплитуд нужно потому, что появился спин и 2 сорта частиц, но тогда возникает вопрос: как сосчитать амплитуду перехода, допустим, электрона из состояния со спином вверз по оси $z$ в точке $y$ в состояние электрона со спином вниз по оси $z$ в точке $x$ с помощью пропагатора $S_{ab}(x-y)$, модуль какой его компоненты квадрировать?

Цитата:

Книга Пескина-Шредера - штука замечательная во многих смыслах, но всё-таки советую не ограничиваться ею одной (это вообще для любой области справедливо). Как по мне, одна из лучших книг для введения в КТП - Э. Зи: "Квантовая теория поля в двух словах". Единственный недостаток - там сразу применяется формализм функционального интегрирования, а канонический формализм отсутствует.

Книг по КТП у меня больше десятка, Зи я тоже читал немного, но потом вернулся к Пескину, поскольку раздваивать мышление на два подхода одновременно сложновато. К сожалению, вопросы, малопонятные у Пескина, в книгах попроще часто игнорируются: Das, Yamomoto и Padmanabhan не дали мне просветления на тему фермионного пропагатора. Бьёркен и Дрелл вводят его тоже формально.

[Gickle]

Ascold в сообщении #1215337 писал(а):

Умные люди, в том числе на этом форуме, говорят, что много амплитуд нужно потому, что появился спин и 2 сорта частиц, но тогда возникает вопрос: как сосчитать амплитуду перехода, допустим, электрона из состояния со спином вверз по оси $z$ в точке $y$ в состояние электрона со спином вниз по оси $z$ в точке $x$ с помощью пропагатора $S_{ab}(x-y)$, модуль какой его компоненту квадрировать?

Как определяется амплитуда перехода между двумя состояниями? Вы можете записать названные вами состояния? Что тогда должно получиться?

[Ascold]

Gickle в сообщении #1215339 писал(а):

Как определяется амплитуда перехода между двумя состояниями? Вы можете записать названные вами состояния? Что тогда должно получиться?

Электрон со спином вверх соответствует спинору $u(p,+s),$ значит, соотв. в т. $y$ состояние будет даваться (в силу того, где находится оператор его рождения $a^\dagger$ выражением

$$\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_p}}\bar{u}(p,s)e^{ipy}a^\dagger(p,s)|0\rangle$$

или нет? Просто меня напрягает, что при построении решений ур-я Дирака с электроном изначально ассоциировался спинор $u$, а не $\bar{u},$ а здесь, если для рождения пользоваться полем $\psi(y),$ всплывает сопряжённый спинор.
Амплитуда перехода в представлении Гейзенберга для незаряженного скалярного поля - это $D(x-y)=\langle 0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle$.
В случае спинорного поля я плохо себе представляю, как и на каком основании обобщить это понятие. Или Вы намекаете, что раз состояние связано с 4-компонентным спинором, то и амплитуд перехода должно быть в итоге 4?

[Ascold]

Бра-вектор электрона в точке $x$ со спином вниз(обозначим спиновой индекс в этой ситуации $-s$ ) будет иметь вид

$$\langle 0|\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_q}}u(q,-s)e^{-iqx}a(q,-s),$$

тогда по аналогии со скалярным полем амплитуда перехода будет

$$\langle 0|\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_q}}\frac{d^3p}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_p}}e^{-i(qx-py)}u(q,-s)\bar{u}(p,s)a(q,-s)a^\dagger(p,s)|0\rangle,$$

Спиноры $u$ можно выписать явно, в стандартном представлении(в нём их мне быстрее вычислять) это будут

$$\bar{u}(p,s)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{-p_z}{E_p+m} & \frac{-(p_x-ip_y)}{E_p+m}\end{pmatrix},$$

$$u(q,-s)=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \frac{q_x-iq_y}{E_q+m} \\ \frac{-q_z}{E_q+m}\end{pmatrix}.$$

Я вычислил далее матрицу $u(q,-s)\bar{u}(q,s),$ и из её вида совершенно непонятно, как по ней считать вероятность перехода.
Авторы же книг вообще делают не так: они не рассматривают $u(q,-s)u(q,s),$ а сразу считают амплитуды от полей $\langle 0|\bar{\psi}_a(x)\psi_b(y)|0\rangle$ т.е. по спиновым переменным $s$ суммируют. С учётом тождеств для спиноров $u$ получается красиво, но в итоге тоже совершенно неясно, как оттуда считать вероятности и где именно у Пескина в (3.114)-(3.115) спрятана информация о спине.

[Cos(x-pi/2)]

Ascold

Извините, если я не прав, но мне думается, что причина ваших затруднений - в недооценке важной роли взаимосвязей между разными сюжетами КТП, и важной роли понимания каждого из сюжетов. Не следует сюжеты воспринимать отрывочно или пренебрегать какими-то из них. Сложность таких взаимосвязей для понимания действительно есть, и она обусловлена во многом, помимо громоздкости необходимых выкладок, нетривиальностью самой трансформации привычных (если они для Вас уже привычные) представлений о частицах и о спине в КМ, которая происходит в КТП из-за требований СТО. Так что, детальное выяснение смысла квантово-полевых величин - это задача для трудоёмкой самостоятельной работы, её вряд ли удастся втиснуть в формат форума.

а) Более конкретно: ИМХО, термин "амплитуда перехода частицы из точки в точку" применительно к пропагатору в КТП - жаргонный; ясно же, что вероятность частице попасть в заданную мировую точку равна нулю, а значит, и амплитуда такой вероятности равна нулю. Смысл может иметь только амплитуда перехода частицы из одной области пространства-времени, где действует некоторый источник частицы (таким источником могут быть и другие частицы, порождающие данную частицу в акте взаимодействия), в другую область ПВ, где действует некий приемник частицы (им могут быть и другие частцы, поглощающие данную частицу в акте взаимодействия).

Амплитуда перехода частицы из источника в приемник должна быть безразмерной лоренц-инвариантной величиной, и она должна зависеть от "эффективности" источника и приемника (эффективность источников и приемников также описывается полями в ПВ). Другими словами, амплитуда одночастичного перехода это функционал по полевым переменным источника и приемника, а пропагатор это лишь ядро такого функционала.

б) Источники и приемники могут иметь какие-либо "поляризационные степени свободы". Например, в КЭД источником и приёмником фотона служит 4-векторный ток $J_{\mu}$ - математический объект с хорошо определённым и простым законом преобразования относительно группы Лоренца (для краткости я здесь пишу все индексы как нижние; это тоже "жаргон"). Значит, пропагатор фотона $D$, как ядро функционала, описывающего амплитуду вероятности однофотонного обмена между двумя 4-токами $J^{(2)}_{\nu}(x')$ и $J^{(1)}_{\mu}(x),$ должен иметь два индекса (в данном случае 4-векторных) и по ним должно вестись лоренц-инвариантное суммирование: $J^{(2)}_{\nu}(x')D_{\nu \mu}(x'-x)J^{(1)}_{\mu}(x)$ - такое выражение входит в амплитуду вероятности под знаки интегралов по координатам $x'$ и $x$ точек в ПВ.

Но это не означает, что обязательно должны существовать 4 типа поляризации реального фотона. Пропагатор устроен так, что он, наглядно говоря, выполняет роль "проекционного оператора" - выделяет из источников только 2 независимых поляризационных степени свободы для реального фотона с $m=0$; такова роль индексов у $D_{\nu \mu}$.

в) Оказывается, источник (и приемник) массивной (т.е. с $m \neq 0)$ частицы со спином $1/2$ должен иметь индекс тоже c 4 значениями, чтобы обладать простым законом пребразования относительно группы Лоренца, но это не "4-векторный" закон. Соответствующие индексы называют "биспинорными", их связь с индексами обычного нерелятивистского 2-компонентного спинора, описывающего реальный электрон, неочевидна и не так проста, как нам может быть хотелось бы из интуитивных ожиданий. Изучая этот сюжет, приходится разобраться в свойствах спиноров и биспиноров по отношению к группе Лоренца, выяснить, как реализуется лоренц-инвариантное суммирование по спинорным индексам разных типов.

Пропагатор электрона в КЭД, будучи ядром функционала с биспинорными источником и приемником, имеет 2 биспинорных индекса. В этом сюжете есть один "тонкий момент": в отличие от фотонного пропагатора электронный пропагатор антисимметричен к перестановке всех своих аргументов вместе с индексами; поэтому, чтобы амплитуда перехода не зависела от подобных перестановок, приходится требовать, чтобы биспинорные полевые амплитуды источника (и приемника) были не обычными, а грассмановыми "числами".

Метод операторов рождения и уничтожения, а также метод функционального интегрирования по полям - это просто другая математическая техника подобраться к вычислению тех же самых амплитуд перехода, которые нужны для описания процессов взаимопревращения и распространения частиц. В конечном счете интерес представляют амплитуды перехода, составляющие так называемую "матрицу рассеяния" ("S-матрицу"). Или даже не сами амплитуды, а вычисляемые с их помощью сечения процессов.

г) Если хотите, попробуйте вернуться назад, "к азам" и, с самым минимальным подглядыванием в книжки, детально ответьте себе на, казалось бы, очень простые вопросы (а я попробую помочь, если смогу; заодно и сам, может быть, получше разберусь в том, о чём тут говорю :-).

1) Вот первый простейший вопрос. Пусть у нас есть частица со спином $1/2$ и пусть она находится в состоянии со спином вдоль оси $z.$ Исходим из обычной самой простой КМ-картины спина, нерелятивистской; эти, на первый взгляд безобидные, слова означают, что мы для простоты предполагаем импульс частицы равным нулю (а это в свою очередь означает, что частица рассматривается в её системе покоя, что в свою очередь означает, что частица предполагается у нас массивной: $m \neq 0).$ Тогда орбитальная часть волновой функции, т.е. $e^{i \mathbf{p \cdot r}},$ равна единице (с точностью до нормировочной константы - на нормировку пока не обращаем внимания), так что состояние частицы описывается просто базисным спинором "спин вверх по оси z", т.е. столбцом-спинором $u$ с двумя числовыми компонентами: $u_1=1,$ $u_2=0.$

Собственно вопрос Вам: выпишите компоненты спинора $u',$ полученного из $u$ бустом вдоль оси $z$ со скоростью $V.$

Напомню, что после буста со скоростью $\mathbf{V}$ любое покоившееся тело выглядит движущимся со скоростью $\mathbf{V};$ не обязательно считать, будто тела подверглись ускорению, можно считать, что прежние тела наблюдает другой наблюдатель - относительно него движутся со скоростью $\mathbf{V}$ все те тела, которые покоились относително исходного наблюдателя. Присутствующие в хорошо известных (для 4-векторов) формулах преобразований Лоренца характерные выражения с $\mathbf{V}$ бывает удобно записывать через через энергию $E_{\mathbf{p}}$ и импульс $\mathbf{p}$ какого-нибудь массивного тела, которое до буста покоилось, т.е. имело равный нулю импульс и энергию $E_0=m:$

$\dfrac{\mathbf{V}}{\sqrt{1-V^2}}=\dfrac{\mathbf{p}}{m}\, , \qquad \dfrac{1}{\sqrt{1-V^2}}=\dfrac{E_{\mathbf{p}}}{m} .$

[Ascold]

Благодарю за развёрнутый ответ.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1215499 писал(а):

ясно же, что вероятность частице попасть в заданную мировую точку равна нулю, а значит, и амплитуда такой вероятности равна нулю.

Это я просто вместо фразы "плотность вероятности" из-за лени часто пишу "вероятность".

Цитата:

Собственно вопрос Вам: выпишите компоненты спинора $u',$ полученного из $u$ бустом вдоль оси $z$ со скоростью $V.$

Возможны 2 варианта. Пусть спинор $u$ - верхняя половинка биспинора, тогда $u'=e^{-\sigma_z\xi/2}u.$ Буст задаётся величиной $\xi=Arth(v/c).$
Квадрат любой матрицы Паули

$$\sigma_i^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},$$

поэтому

$$e^{-\sigma_z\xi/2}=1-\sigma_z\xi/2+\sigma_z^2(\xi/2)^2/2!-\sigma_z^3(\xi/2)^3/3!+...=1-\sigma_z\xi/2+1\cdot(\xi/2)^2/2!-\sigma_z(\xi/2)^3/3!+..,$$

т.е.

$$e^{-\sigma_z\xi/2}=\begin{pmatrix}1-\xi/2+(\xi/2)^2/2!-(\xi/2)^3/3!+...&0\\0&1+\xi/2+(\xi/2)^2/2!+(\xi/2)^3/3!+...\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{-\xi/2}&0\\0&e^{\xi/2}\end{pmatrix},$$

следовательно,

$$u'=\begin{pmatrix}e^{-\xi/2}\\0\end{pmatrix}.$$

Поскольку $\dfrac{\mathbf{V}}{\sqrt{1-V^2}}=\dfrac{\mathbf{p}}{m}=\sh(\xi)\, , \qquad \dfrac{1}{\sqrt{1-V^2}}=\dfrac{E_{\mathbf{p}}}{m}=\ch(\xi),$ можно записать

$$e^{-\xi/2}=\ch(\xi/2)-\sh(\xi/2)=\sqrt{\frac{\ch\xi+1}{2}}-\sqrt{\frac{\ch\xi-1}{2}}=\sqrt{\frac{E_p/m+1}{2}}-\sqrt{\frac{E_p/m-1}{2}}.$$

Или можно иначе:

$$e^{-\xi/2}=\sqrt{e^{-\xi}}=\sqrt{\ch(\xi)-\sh(\xi)}=\sqrt{\frac{E_p-p}{m}}.$$

Надеюсь, нигде не обсчитался.

[Munin]

У вас получилась какая-то константа. А должна быть плоская волна по $z,$ как я понимаю.

[Ascold]

Munin в сообщении #1215537 писал(а):

У вас получилась какая-то константа. А должна быть плоская волна по $z,$ как я понимаю.

Так я не предположил спинор решением какого-либо диф. уравнения - просто умножил матрицу буста на столбец, как предложил $\mathbf{Cos(x-pi/2)}.$

[Cos(x-pi/2)]

Да, вроде, всё правильно, если не учитывать орбитальную часть волновой функции и предположить, как Вы и сделали, что $u'=e^{-\sigma_z\xi/2}u.$ К последнему предположению вскоре придётся ещё вернуться, чтобы разобраться, откуда оно такое взялось, а пока - следующий вопрос:

2) Получилось, что $u'_2=0,$ но компонента

$u'_1=\sqrt{\dfrac{E_p-|\mathbf{p}|}{m}}=\left (\dfrac{1-V}{1+V} \right )^{1/4}<1$

не равна единице, в отличие от $u_1=1.$ Если учесть орбитальную часть волновой функции при $t=0$, то надо домножить обе компоненты этого спинора на $e^{i|\mathbf{k'}|z},$ как справедливо заметил Munin. Однако важно, что при этом по модулю всё-равно имеем константы: $|u'_1|<1$ и $u'_2=0.$

Вопрос Вам: каков был физический смысл чисел $|u_1|^2=1, \, |u_2|^2=0,$ и как с точки зрения такого физ. смысла Вы попытались бы объяснить себе только что подтверждённый Вами факт: в движущейся системе отсчёта имеем $|u'_1|^2<1,$ хотя по-прежнему $|u'_2|^2=0.$

-- 10.05.2017, 22:42 --

Для ясности, задам тот же вопрос немного по-другому. У нас сначала была частица со спином $1/2,$ направленным вдоль $z.$ Теперь мы разглядываем ту же частицу, двигаясь против оси $z;$ вроде, это то же самое, как будто частица движется относительно нас вдоль оси $z.$ Ну и что? Разве такое движение может изменить спиновое состояние частицы?

Интуитивно ясно, что не может: спин частицы останется с достоверностью направленным вдоль $z.$ Расчёт это и подтверждает: компонента спинора $u'_2=0$ по-прежнему. И тогда, говорит нам наша нерелятивистская интуиция, должно быть по-прежнему $|u'_1|^2=1.$ Но вот это ожидание "почему-то" не подтвердилось расчётом! Вопрос: почему не подтвердилось? Как физически объяснить себе результат $|u'_1|^2 \neq 1 \, ?$

[Ascold]

На интуитивном уровне, пока без формул мне кажется, что спин - это какой-никакой угловой момент, а значит, с ним можно связать (псевдо-)вектор, торчащий вдоль оси $z$. Нулевая вторая компонента указывает на то, что он сонаправлен, а не противонаправлен этой оси. При преобразованиях Лоренца компоненты вектора вдоль напрпвдения движения сокращаются, мне кажется, здесь имеет место именно это.

[Cos(x-pi/2)]

Ascold в сообщении #1215782 писал(а):

спин - это какой-никакой угловой момент, а значит, с ним можно связать (псевдо-)вектор, торчащий вдоль оси $z.$ Нулевая вторая компонента указывает на то, что он сонаправлен, а не противонаправлен этой оси.

Это-то верно, такая картина у нас и предполагалась. Но плавно изменять свою величину квантовомеханический угловой момент не может. В общем случае для величины спина любых частиц КМ допускает только полуцелые или целые значения: $0,\, 1/2, \, 1, \, ... \, .$ Раз уж величина спина у нашей частицы равна $1/2,$ то она равна $1/2$ в каждой системе отсчёта, т.е. вне зависимости от того, куда и как движется (или не движется) частица. Спин не испытывает лоренцева сокращения.

А вот любой элемент объёма испытывает лоренцево сокращение. И в любом элементе объёма мы можем с какой-то вероятностью обнаружить нашу квантовую частицу. Волновая функция частицы с определённым импульсом - плоская волна, по модулю равная константе; мы вполне можем думать, что $|u_1|$ это модуль волновой функции нашей частицы, если она обнаруживается со спином вдоль $z,$ а $|u_2|$ - модуль волновой функции, если она обнаруживается со спином против оси $z$ (в нашем частном примере $u_2=0$ - частица не обнаруживается со спином против оси $z,$ но это лишь частный случай). Тот факт, что эти модули не зависят от координат, соответствует полностью однородной "размазке" вероятности обнаружения частицы по пространству: если вектор импульса частицы задан точно, то её координаты - полностью неопределённые. В таком контексте Вы и попробуйте назвать физ. смысл $|u_1|^2+|u_2|^2.$