Определение предела функции.

[Aritaborian]

Согласен: лучше не скрывать. Слова «сваливается в топологию» с моей стороны были, наверное, чересчур грубыми. Прихожу, кажется, к пониманию, чем современное преподавание матана отличается от оного времён Фихтенгольца и Кудрявцева: таки топология really matters. Но это лишь в лучших домах Парижа и Лондона. На мехмате БГУ, e. g., первокурсник на лекциях матана ничего топологического не услышит. Только классика, только хардкор. Разнообразие, впрочем, имеется: один лектор строит $\mathbb{R}$ по Коши (это интереснее), другой — аксиоматически (это быстрее, но скучно). Предложи вы им учебник Львовского, первый бы ешё, возможно, и задумался бы, а второй попросту послал бы к чёрту.

tolstopuz в сообщении #1214587 писал(а):

Из Кудрявцева я уже приводил удивительный пример

На упомянутом выше мехмате БГУ учебник Кудрявцева считается ни разу не устаревшим и многие студенты предпочитают именно его, из-за лёгкости изложения.

[Romashka97]

Aritaborian в сообщении #1214594 писал(а):

Начинать с топологических пространств это, хм, современно.

А почему с них стоило начать?

[Aritaborian]

Очевидно потому, что это современно ;-)
На самом деле потому, что топология — едва ли не самая общая штука, связывающая все разделы математики между собою. И вводя её элементы с первых лекций матана, мы тем самым сразу привязываем матан ко всей остальной математике. Поначалу это может показаться надуманным и быть трудным для осознания, но далее даст свои плоды. В то время как изложение «старой школы», безусловно, куда легче для понимания, но в долгосрочной перспективе ведёт в никуда.

[ewert]

Aritaborian в сообщении #1214688 писал(а):

Предложи вы им учебник Львовского, первый бы ешё, возможно, и задумался бы, а второй попросту послал бы к чёрту.

Львовский на рядовых мехматян не рассчитан -- он для тех, кто про основы анализа уже что-то слышал.

И изложение у него довольно живое. Правда, иногда его вроде всё-таки немного заносит.

Romashka97 в сообщении #1214692 писал(а):

А почему с них стоило начать?

Для слушателей, которые уже знакомы со стандартным определением предела, начинать с топологии, тем более такого обзорного характера, как у Львовского -- вполне уместно.

[Romashka97]

ewert в сообщении #1214699 писал(а):

стандартным определением предела

на языке эпсилон дельта ?

[Aritaborian]

ewert в сообщении #1214699 писал(а):

И изложение у него довольно живое.

Согласен. Это поначалу он меня малость шокировал, но через полчаса понял, что да, он крут. (Ну, кто бы сомневался, что Львовский крут, раз уж это тот же самый Львовский, который написал книгу про TeX.) Надо бы не полениться и прочесть книгу полностью.

ewert в сообщении #1214699 писал(а):

Львовский на рядовых мехматян не рассчитан -- он для тех, кто про основы анализа уже что-то слышал.

Таким образом, вы хотите сказать, что для сферического мехмата в вакууме этот учебник непригоден?

-- 07.05.2017, 13:40 --

Romashka97 в сообщении #1214702 писал(а):

на языке эпсилон дельта ?

А другие стандартные знаете?

[ewert]

kp9r4d в сообщении #1214579 писал(а):

Совсем конкретно: никто "последовательность" сейчас "вариантой" не называет.

Кажется, это единственное, что у Фихтенгольца устарело, в остальном он достаточно современен. Тот же Кудрявцев у меня оставляет впечатление какого-то перепева Фихтенгольца.

Aritaborian в сообщении #1214688 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1214587 писал(а):

Из Кудрявцева я уже приводил удивительный пример

На упомянутом выше мехмате БГУ учебник Кудрявцева считается ни разу не устаревшим и многие студенты предпочитают именно его, из-за лёгкости изложения.

Ну, старость и даже лёгкость тут не при чём, а вот логика удивительна. Чисто аксиоматический подход -- он, конечно, короче, но без моделей подвисает в воздухе. Собственно, любой конструктивный подход -- это "теорема существования" в рамках подхода аксиоматического.

Кстати, "аксиома непротиворечивости", в необходимости которой он упрекал конструктивные подходы, мне на глаза как-то так и не попалась; может, невнимательно смотрел. Не заметил и "теоремы единственности" (о том, что $\mathbb R$ единственно с точностью до изоморфизма). Между тем именно при аксиоматическом подходе она безусловно необходима.

[Aritaborian]

Раз пошла такая пьянка. А кто из уважаемых специалистов что думает об учебниках матана В. Хавина?

[Romashka97]

Aritaborian в сообщении #1214706 писал(а):

А другие стандартные знаете?

ну есть еще на языке последовательностей.Еще слышал про Коши и Гейне,но у меня какая то путаница с ними,т.е. думаю четко я понимаю только на эпсилон дельта,т.к. графически помню,как лектор рисовал.

[ewert]

Romashka97 в сообщении #1214713 писал(а):

ну есть еще на языке последовательностей.Еще слышал про Коши и Гейне,но у меня какая то путаница с ними,т.е. думаю четко я понимаю только на эпсилон дельта

Эпсилон-дельты -- это и есть Коши. А Гейне -- это последовательности. И очень важно осознавать их эквивалентность. Потому что для разных теорем выгодно использовать разные подходы.

[kp9r4d]

ewert в сообщении #1214708 писал(а):

Тот же Кудрявцев у меня оставляет впечатление какого-то перепева Фихтенгольца.

Да мне и Кудрявцев не нравится. Для меня в учебниках самое главное - минималистичность и чёткая расстановка акцентов. Поэтому мне так нравятся учебники вроде Львовского, Атьи-Макдональда, May (по ал.топологии) сейчас ищу нечто подобное по ал. геометрии, а то Хартсхорн как раз-таки акценты не супер круто расставляет, мне кажется.

Потому что компактность - это важно, на это нужно потратить параграф, а уметь брать интегралы $\int \sqrt{\frac{ax^2 + bx + c}{dx^2 + ex + f}} dx$ это не так важно, это вообще можно не знать, а у Фихтенгольца на подобное выделен целый том (хотя, возможно, во времена когда интернета не было и нельзя было это моментально нагуглить, подобные магнумы были гораздо более оправданы).

[Aritaborian]

kp9r4d в сообщении #1214718 писал(а):

Да мне и Кудрявцев не нравится. Для меня в учебниках самое главное - минималистичность и чёткая расстановка акцентов.

Скажите, не лукавя: для вас так всегда было? Легко произносить подобные слова, когда уже прилично продвинут. А когда ты поступил на первый курс, закончив среднестатистическую школу, и тут на тебя условный Львовский внезапно начинает вот это вот всё вот такое на лекциях вываливать... А преподаватель практики по секрету рассказывает, что есть на свете учебники Фихтенгольца и Курдрявцева, и они становятся для тебя отдушиной.

[ewert]

kp9r4d в сообщении #1214718 писал(а):

Да мне и Кудрявцев не нравится. Для меня в учебниках самое главное - минималистичность и чёткая расстановка акцентов. Поэтому мне так нравятся учебники вроде Львовского, Атьи-Макдональда, May

Да, лаконичности Кудрявцеву не хватает. Зато про Львовского ещё Ф.Искандер говорил: "хорошее начинание, но не для нашего климата". Так что лучше уж Кудрявцев.

[AV_77]

Во времена Фихтенгольца не только интернета, но и компьютеров толком не было. Это сейчас полно матпакетов, которые могут все посчитать, а в те времена все руками делали, да справочниками пользовались.

[kp9r4d]

Aritaborian в сообщении #1214721 писал(а):

Скажите, не лукавя: для вас так всегда было?

Нет, сначала я наоборот стремился к максимально полному и строгому изложению и пытался на первом курсе читать Шварца (из-за чего чуть не выгнали, потому что когда люди брали интегралы я только полилинейные функции на нормированных пространствах изучал), потом читал Зорича, на полное освоение первого тома ушло 1.75 года по сути. Потом понял, что учиться нужно как-то по-другому, иначе кердык.

Aritaborian в сообщении #1214721 писал(а):

Легко произносить подобные слова, когда уже прилично продвинут.

Ну вот ал.геометрия при всей моей приличной продвинутости (которой нету) для меня совсем нелегко идёт потому что непонятно абсолютно как додумываться до тех логических фигур, которые нужны при решении упражнений в том же Хартсхорне; но сейчас мне кажется, я потихоньку начинаю привыкать к словам и становится проще, даже без тщательной проработки всех технических тонкостей. И я замечаю, что нужно знать, на самом деле, крайне ограниченный спектр этих самых логических фигур, чтобы что-то решать, поэтому если бы был написан какой-нибудь "львовский для алг.геометрии" в котором они все просто выписаны в столбик на 5 страницах, мне было бы гораздо проще. Так что тут вопрос, всё же, организации информации, а не простоты/сложности.

Aritaborian в сообщении #1214721 писал(а):

А когда ты поступил на первый курс, закончив среднестатистическую школу, и тут на тебя условный Львовский внезапно начинает вот это вот всё вот такое на лекциях вываливать...

Если бы так было, было бы идеально, ибо настраивало бы человека на нужный ритм сразу. Гораздо хуже, когда заканчивая четвёртый он только условного Фихтенгольца и знает.