Координаты и движения в геометрии Римана

[Dmitry_Milk]

Как задавать координаты и движения в геометрии Римана (постоянная положительная кривизна)?

Как это сделать для сферической и гиперсферической геометрии вроде бы понятно, все располагается в евклидовом пространстве большей размерности на поверхности сферы или гиперсферы, любые движения - это повороты относительно центра (для сферы - два соответствуют поступательному движению малых приращений, один - ориентации, для гиперсферы - три "поступательных" и три ориентационных).

А как это сделать для геометрии Римана? Теоретически, если я правильно понимаю, это можно сделать и на сфере/гиперсфере с теми же самыми преобразованиями движения, если использовать только половину, искусственно отображая точки на противоположную сторону сферы/гиперсферы, если при преобразовании движения они оказались на "обратной" половине. Но наверное есть какой-то более правильный для геометрии Римана способ задать совокупность координат и движений, аналитически непрерывный, без проверки условий но с сохранением однозначности?

[george66]

Геометрия Римана устроена как проективная. Возьмём трёхмерное пространство, в нём единичную сферу и плоскость $z=1$. Каждая прямая, проходящая через начало координат, задаёт две диаметрально противоположные точки сферы и одну точку проективной плоскости $z=1$ (прямые, лежащие в плоскости $xOy$, задают бесконечно удалённые точки). Прямая с направляющим вектором задаётся ненулевой тройкой коэффициентов $(a,b,c)$, определённой с точностью до множителя, это и есть однородные координаты на Римановой плоскости.

[Dmitry_Milk]

george66, спасибо за разъяснения.

Все таки меня не покидает ощущение, что в геометрии Римана есть что-то нечестное, а именно - если сделать "полный оборот" (сферу на 180 градусов), то хоть точка и перейдет в саму себя, но окажется в зеркальном мире. То есть, чтоб полностью оказаться там же, где и был, все равно повернуть сферу придется на 360 градусов.

И еще вопрос по поводу деления пространства в геометрии Римана на одинаковые правильные сегменты. Если я правильно понимаю, для этого, как и для сферической геометрии, можно вписать в сферу какой-либо правильный многогранник и соединить вершины геодезическими линиями. Но в отличие от сферической годятся не все многогранники - как подсказывает мне мое воображение, тетраэдр не годится, т.к. его вершины нельзя соединить прямыми, проходящими через центр сферы. А вот как для следующего количества измерений? Там тоже вроде бы шесть правильных многоячейников, как понять, какие из них годятся для построения разбиения пространства на одинаковые правильные ячейки?

[george66]

Берите полусферу, тогда надо отождествить только диаметрально противоположные точки экватора. Выползая через экватор, мы немедленно вползаем с противоположной стороны, перевернувшись на 180 градусов. Топологически это круг с отождествлёнными диаметрально противоположными точками границы. Аналогично, трёхмерное пространство Римана топологически устроено как шар, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки сферы. Вылетая наружу через поверхность шара, мы немедленно влетаем в него с противоположной стороны, перевернувшись на 180 градусов. Теперь следите за построением: в четырёхмерном пространстве (кватернионов) берём единичную трехмерную сферу (множество кватернионов нормы единица). Её можно топологически изобразить как трёхмерное евклидово пространство с одной добавленной бесконечно удалённой точкой (как обычная сфера гомеоморфна плоскости, расширенной одной точкой). В этом трёхмерном евклидовом пространстве в начале координат лежит кватернион 1, в бесконечно удалённой точке лежит кватернион -1, а на двумерной единичной сфере лежат чисто мнимые кватернионы нормы единица (i, -i, j, -j, k, -k и всякие другие). Отождествляем все кватернионы вида а и -a. Это можно сделать, взяв шар внутри сферы мнимых кватернионов и отождествив диаметрально противоположные точки сферы. Получаем пространство Римана.
Про правильные разбиения с ходу не соображу.

[Dmitry_Milk]

Все, вопрос по поводу разбиения для трехмерного случая исчерпан, нашел информацию. Так же, как и для двумерного случая, не годится только симплексный политоп (пятиячейник), остальные пять политопов имеют центральную симметрию и позволяют отождествить противоположные точки.

[george66]

Это интересная вещь - геометрия Римана. Она самая простая из неевклидовых (и проще евклидовой), при этом там очень красивые эффекты
topic116649.html

[Munin]

Dmitry_Milk в сообщении #1214114 писал(а):

Как задавать координаты и движения в геометрии Римана (постоянная положительная кривизна)?
Как это сделать для сферической и гиперсферической геометрии вроде бы понятно

Сферические координаты можно напрямую использовать и для эллиптической геометрии.
("Геометрию Римана" лучше называть эллиптической, чтобы не путать с римановой геометрией. Аналогично, Лобачевского часто называют гиперболической.)

Dmitry_Milk в сообщении #1214141 писал(а):

Все таки меня не покидает ощущение, что в геометрии Римана есть что-то нечестное, а именно - если сделать "полный оборот" (сферу на 180 градусов), то хоть точка и перейдет в саму себя, но окажется в зеркальном мире.

Я это воспринимаю наоборот: точка сама по себе "зеркалится", а оказывается в том же самом исходном мире, а не в его копии. Впрочем, эти два взгляда изоморфны.

[Dmitry_Milk]

Никак не пойму, как представить движения в гиперсферической геометрии компактным способом.

В сферических геометриях любые движения сводятся к поворотам относительно центра (гипер)сферы. Для гиперсферы имеем 6 различных элементарных поворотов, причем повороты эти не вокруг оси, а "вокруг плоскости".

Если представлять повороты (считая, что повороты производятся вокруг начала координат) матрицей 4х4 - то все понятно, как раз получаются 6 разных комбинаций различных пар осей, на которых размещаются синусно/косинусные четверки. Любые сложные повороты можно представить произведениями матриц. Но матричное представление избыточно(впрочем это не так страшно) и вычислительно неустойчиво (а вот это уже напрягает при накапливающихся преобразованиях, матрица начинает терять свою ортогональность).

Поэтому хотелось бы что-то типа кватернионов. Но одного кватерниона (даже с дополнительным скаляром) недостаточно, потому что:

1). как уже сказано, повороты осуществляются не вокруг оси, а "вокруг плоскости" и в плоскости, а кватернион как 4-вектор задает лишь ось в 4D и ортогональное ему 3D-пространство.
2). в 4D не действует теорема Эйлера-Даламбера, например, можно осуществлять два одновременных независимых поворота вокруг разных плоскостей на разные углы - и такое движение невозможно свести к одному повороту (попадался термин "Повороты клиффорда"). Не имею доказательства, но интуитивно чувствую, что должна действовать теорема типа "любое движение с неподвижной точкой в 4D в общем случае представимо в виде двух независимых поворотов"

Собственно, везде так и говорится, что для представления поворотов в 4D требуется пара кватернионов.

В 4D пара 4-векторов задает пару скаляров и в отличие от 3D не одну, а сразу пару плоскостей - в одной плоскости эти 4-векторы лежат, а другая плоскость образована пересечением объемов, перпердикулярных обоим этим 4-векторам. Не знаю, есть ли какой-то стандартный термин, получается что-то типа две взаимно "дважды перпендикулярных" плоскости. И соответственно, к каждой из них может быть применен один из пары скаляров, обозначающий угол поворота в соответствующей плоскости. Если я правильно сображаю, то этим двум независимым поворотам соответствуют взаимно коммутирующие матрицы.

Но вот как производить перемножение этой пары кватернионов - все равно никак не соображу. И как следствие - не могу понять, как из этой пары кватернионов вывести соответствующую матрицу 4х4.

[Munin]

Во-первых, вы опускаете отражения.

Во-вторых, в $2k$-мерном и в $(2k+1)$-мерном пространстве собственные ($\mathrm{det}=1$) движения с неподвижной точкой представимы в виде $k$ независимых поворотов. Это доказывается через жорданову нормальную форму матриц.

[arseniiv]

Dmitry_Milk
Так, ну, всё, что написано в https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation#Pairs_of_unit_quaternions_as_rotations_in_4D_space вы, наверно, уже видели. Там тоже не написано, как перемножать пары, но более-менее очевидно, что поэлементно.*

Есть ещё и более общее представление вращений специальными элементами («роторами») алгебры Клиффорда интересующего пространства. Для евклидовых и псевдоевклидовых пространств там всё крайне замечательно, для произвольной сигнатуры чуть не очень, но она вас, вроде, и не интересует.

Насчёт алгебр Клиффорда наконец-то могу что-то порекомендовать: Широков Д. С. Алгебры Клиффорда и спиноры (2011).

* Если учесть алгебро-клиффордский подход, спинорные группы все лежат в чётной подалгебре $C\ell^0_{4,0}(\mathbb R)\cong C\ell_{0,3}(\mathbb R)\cong \mathbb H\oplus\mathbb H$, а это алгебра пар кватернионов, где они складываются и умножаются попарно.

-- Пт июн 02, 2017 17:06:05 --

Munin в сообщении #1221512 писал(а):

Во-вторых, в $2k$-мерном и в $(2k+1)$-мерном пространстве собственные ($\mathrm{det}=1$) движения с неподвижной точкой представимы в виде $k$ независимых поворотов.

А что, кто-то говорил иное?

-- Пт июн 02, 2017 17:20:01 --

А, вы про отражения. Да, так ведь учитываются только вращения.

arseniiv в сообщении #1221516 писал(а):

спинорные группы все лежат в чётной подалгебре

Какую ерунду я написал, однако. Только как раз те, которые про собственные вращения. Для несобственных нужны элементы нечётной степени, и для их «честного» представления $\mathbb H$ для трёх измерений и $\mathbb H\oplus\mathbb H$ для четырёх уже недостаточно, нужны будут $\mathbb C^{2\times2}$ (по 8 компонент) и $\mathbb H^{2\times2}$ (по 16 компонент).

[Munin]

arseniiv в сообщении #1221516 писал(а):

А что, кто-то говорил иное? :-)

Просто ТС почему-то только $n=4$ рассматривает. Как не известный из учебников факт.

[george66]

Четырёхмерное пространство -- это пространство кватернионов. Умножаем кватернион x слева и справа на произвольные кватернионы нормы единица axb и получаем произвольное вращение.

[arseniiv]

На таком-то уровне ТС вроде в курсе.

george66 в сообщении #1221534 писал(а):

Четырёхмерное пространство -- это пространство кватернионов.

Это выглядит методически некорректно, потому что кватернионы — это конкретная алгебра на четырёхмерном пространстве. А их можно насочинать и других — $\mathbb R^{2\times2}$, например.