2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Наименьшее евклидово поле
Сообщение23.03.2017, 19:01 


31/12/15
203
Рассмотрим числа, которые можно получить из рациональных с помощью квадратного корня (из положительных), а также сложения, умножения, вычитания и деления. Например
$\sqrt{(\sqrt 2 + \sqrt 3)}$
Есть ли практически удобный способ сравнивать их по величине? Есть ли нетривиальные равенства? Например
$\sqrt 3 + \sqrt 3 = \sqrt {12}$
но это тривиально, поскольку
$2\cdot\sqrt 3 = \sqrt{4\cdot 3}$
Зачем это надо: пишу программу для интерактивных геометрических построений, координаты хочу записывать в виде таких выражений и проводить с ними символьные вычисления (иначе что-то может случайно совпасть из-за округления)

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее евклидово поле
Сообщение23.03.2017, 20:33 
Заслуженный участник


25/02/11
1513
Думаю, что если целые числа небольшие и операций немного, то вероятность совпадения с двойной точностью пренебрежимо мала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее евклидово поле
Сообщение23.03.2017, 20:48 
Аватара пользователя


28/07/09
1041
Ну есть штуки типа $$\sqrt{2 -\sqrt 2} + \sqrt {2 + \sqrt 2} = \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}},$$с ними ещё в школе знакомят. А вы что хотите-то? Проверять тождества или уметь максимально упрощать такие выражения?

-- Чт мар 23, 2017 20:54:30 --

george66 в сообщении #1202921 писал(а):
проводить с ними символьные вычисления

Расскажите, как вы себе это представляете. Хранить вcё AST? Или что-то интереснее

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее евклидово поле
Сообщение23.03.2017, 21:42 


31/12/15
203
Проверять тождества, максимально упрощать, сравнивать по величине. Проверять тождества и максимально упрощать - обычно делается одним способом (находится система "редукций", позволяющих приводить каждое выражение к "нормальной форме"). Я надеялся, что кто-то это уже делал в связи с компьютерной алгеброй.

-- 23.03.2017, 21:49 --

Допустим, мы построили три точки в пространстве и нажимаем кнопку "провести плоскость". Перед этим надо проверить, не лежат ли они на одной прямой. А как проверить? По координатам? Координаты находятся с округлением, даже число 1/3 записывается не точно. Три точки могут оказаться на одной прямой в силу геометрических теорем, проверять это по координатам в любом случае "нехорошо". В перспективе надеюсь приделать пруфчекер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее евклидово поле
Сообщение24.03.2017, 02:51 
Аватара пользователя


28/07/09
1041
Ваши числа называются constructible numbers, беглый гуглинг выдал вопрос на Mathoverflow, где спрашивают как раз об "unique representation of constructible numbers".
А в одном из ответов привели ссылку на учебник. Посмотрите, может вам подойдёт!

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее евклидово поле
Сообщение24.03.2017, 05:55 


31/12/15
203
Спасибо, некоторое решение там есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее евклидово поле
Сообщение24.03.2017, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21074
Уфа
Кстати, я несколько месяцев назад раздумывал над программой, которая бы помогала складывать мозаики из полигональных тайлов. Вот эта же задача у меня бы тоже стояла, если бы не передумал. :-)

-- Пт мар 24, 2017 20:40:21 --

george66
Кстати, если не секрет, что вы планируете сделать в своей программе и чего точно не делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее евклидово поле
Сообщение24.03.2017, 19:41 


31/12/15
203
Есть программа Geogebra, вот я рисовал расслоение Хопфа, оно же параллели Клиффорда
http://www.geogebra.org/m/hmjvu38Z
http://www.geogebra.org/m/VcV6h2ws
http://www.geogebra.org/m/YDnYbunA
http://ggbm.at/EcwwUHNV
Можно и нужно двигать ползунки, особенно нижние. Дальше я захотел сделать программу меньше (в Geogebra очень много всего), да лучше. А именно, будут геометрические построения в пространстве, геометрия будет не евклидова, а эллиптическая (она проще, а картинки красивее, смотрите параллели Клиффорда) и в перспективе, возможно, добавлю пруфчекер, если хватит терпения. На экране будет нарисован прозрачный шар (эллиптическое пространство), внутри него можно будет рисовать эллиптические прямые (изображаются дугами окружностей) и эллиптические плоскости (изображаются кусками сфер). Шар можно будет поворачивать и подвергать эллиптическим движениям, при которых окружности и сферы выпучиваются и раскорячиваются. Цель проекта - самому разобраться и потренироваться в программировании.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее евклидово поле
Сообщение24.03.2017, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21074
Уфа
Это хорошо, удачи!

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее евклидово поле
Сообщение25.03.2017, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21074
Уфа
Вчера я написал неверное
arseniiv в сообщении #1203170 писал(а):
Вот эта же задача у меня бы тоже стояла, если бы не передумал.
На самом деле эта задача у меня бы стояла, если бы я ограничился только такими многоугольниками, которые можно построить циркулем и линейкой. А если произвольными, получится, разумеется, множество чисел побольше упомянутого, и задача была бы труднее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее евклидово поле
Сообщение20.08.2017, 03:33 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5215
Я реализовал когда-то сравнение чисел в алгебраических расширениях поля $\mathbb{Q}$.
Если мне не изменяет память, код был интегрирован в библиотеку Arageli.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее евклидово поле
Сообщение20.08.2017, 06:09 


21/11/12
468
george66 в сообщении #1202921 писал(а):
Есть ли практически удобный способ сравнивать их по величине? Есть ли нетривиальные равенства? Например
$\sqrt 3 + \sqrt 3 = \sqrt {12}$

$\sqrt{ab^2}+\sqrt{ac^2}=\sqrt{a(b+c)^2}$

Соответственно $\sqrt{a(b+c)^2}+\sqrt{ad^2}=\sqrt{ab^2}+\sqrt{a(c+d)^2}$, и это единственное точное равенство в целых радикалах.

Но хорошо выполняется $\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\approx \sqrt{4n+2}$ для достаточно большого $n$. В отличии от точноых выражений, где произведение слагаемых под радикалами - целый квадрат, тут - $n(n+1)$. И для любых множителей $xy=n(n+1)$ тоже хорошо выполняется $\sqrt{x}+\sqrt{y}\approx \sqrt{m}$, где $m$ - некоторое целое составное число. Если бы удалось упорядочить арифметические суммы вида $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ по величине, это дало бы ключ к нахождению лучшего приближения при заданном $m$, что почти равносильно факторизации: $(x-y)^2\equiv 1\mod m$. Я пробовал сортировать. Похоже на икоту из книги незабвенного Венедикта Ерофеева.

Сообщение отредактировано модератором Karan по просьбе автора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее евклидово поле
Сообщение20.08.2017, 06:32 


31/12/15
203
В рекомендованной выше книге
https://libgen.pw/download.php?id=336879
есть некоторое решение (автор D.Bouhineau, глава Solving Geometrical Constraint System)
Идея в том, что не надо придумывать обозначения для всех чисел сразу. Делая конкретное геометрическое построение циркулем и линейкой, мы добавляем к полю рациональных чисел некоторые квадратные корни и получаем расширение вроде $Q[\sqrt 2][\sqrt 3]$. Элементы каждого такого поля записываются как пары чисел из предыдущего поля, например, элементы $Q[\sqrt 2]$ имеют вид $a+b\sqrt 2$, где $a,b\in Q$. Выписывается простой рекурсивный алгоритм сравнения по величине (сравнение чисел сводится к сравнению чисел в предыдущем поле). Ключевая проблема - как не ввести поле вроде $Q[\sqrt 9]$ ? Bouhineau предложил алгоритм, проверяющий, является ли число полным квадратом в поле такого вида, мы можем проверить, что $\sqrt 9=3$ и расширять не надо. В конце статьи проблема, цитирую
The main result of this paper relies on the possibility to find explicit square root in algebraic extention of Q with square roots. Can this be extended to root of arbitrary degree?

И вот теперь новый интересный вопрос - можно ли это сделать? Я спрашивал у Bouhineau, он не знает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее евклидово поле
Сообщение20.08.2017, 06:46 


21/11/12
468
Это мне надо разбираться, спасибо за ссылку. Нет ли чего подобного на русском?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшее евклидово поле
Сообщение20.08.2017, 06:53 


31/12/15
203
Andrey A в сообщении #1241852 писал(а):
Это мне надо разбираться, спасибо за ссылку. Нет ли чего подобного на русском?

Не встречал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group