Оригинальный результат. Публикуется впервые.Свойства композиции двух вращений в 3-х мерном пространстве (рассматриваем вращения вокруг осей, проходящих через начало координат):Для двух вращений

и

, где

и

- единичные направляющие осей, а

и

- углы поворота, результирующий угол поворота

определяется по формуле

Направление оси результирующего вращения задается вектором

Вектор

из приведенного выражения не единичный. Единичный вектор оси результирующего вращения

(например, для использования в формулах матрицы ортогонального преобразования) получается обычным нормированием:

. Явное выражение нормы

довольно громоздко и прикладного значения не имеет, поэтому здесь не приводится.
Приведенные формулы получаются из простых геометрических рассмотрений: в формуле угла легко угадывается теорема сферических косинусов (она действительно из нее следует). Вывод формулы направления оси требует немного больше геометрии.
Некоторые следствия:
1. Результирующий угол не зависит от порядка вращений.
2. Результирующая ось при изменении порядка вращений зеркально отражается от общей плоскости осей компонент.
3. Если углы поворота одинаковые, то результирующая ось, в зависимости от знаков углов, лежит в одной из двух биссектральных плоскостей, перпендикулярных общей плоскости осей компонент.