Свойства композиции двух вращений в 3-х мерном пространстве

[Pluto]

Оригинальный результат. Публикуется впервые.

Свойства композиции двух вращений в 3-х мерном пространстве (рассматриваем вращения вокруг осей, проходящих через начало координат):

Для двух вращений $\{ \vec a , \alpha \}$ и $\{ \vec b , \beta \}$, где $\vec a$ и $\vec b$ - единичные направляющие осей, а $\alpha$ и $\beta$ - углы поворота, результирующий угол поворота $\gamma$ определяется по формуле

$$ cos\,\frac \gamma 2 = cos\,\frac \alpha 2 ~ cos\,\frac \beta 2 - \vec a \cdot \vec b ~ sin\,\frac \alpha 2 ~ sin\,\frac \beta 2 $$

Направление оси результирующего вращения задается вектором

$$ \vec C = \vec a ~ sin\,\frac \alpha 2 ~ cos\,\frac \beta 2 + \vec b ~ sin\,\frac \beta 2 ~ cos\,\frac \alpha 2 + \vec a \times \vec b ~ sin\,\frac \alpha 2 ~ sin\,\frac \beta 2 $$

Вектор $\vec C $ из приведенного выражения не единичный. Единичный вектор оси результирующего вращения $\vec c $ (например, для использования в формулах матрицы ортогонального преобразования) получается обычным нормированием: $\vec c = \frac {\vec C} {\vert \vec C \vert} $. Явное выражение нормы $\vert \vec C \vert $ довольно громоздко и прикладного значения не имеет, поэтому здесь не приводится.

Приведенные формулы получаются из простых геометрических рассмотрений: в формуле угла легко угадывается теорема сферических косинусов (она действительно из нее следует). Вывод формулы направления оси требует немного больше геометрии.

Некоторые следствия:

1. Результирующий угол не зависит от порядка вращений.
2. Результирующая ось при изменении порядка вращений зеркально отражается от общей плоскости осей компонент.
3. Если углы поворота одинаковые, то результирующая ось, в зависимости от знаков углов, лежит в одной из двух биссектральных плоскостей, перпендикулярных общей плоскости осей компонент.

[Brukvalub]

Pluto в сообщении #1213814 писал(а):

Оригинальный результат. Публикуется впервые.

Наконец-то мы наглядно видим кухню "великих" открытий! Поворот вокруг оси является движением, то есть задается трехмерной ортогональной матрицей специального вида. Композиция двух поворотов задается произведением двух таких ортогональных матриц. Умножил две ортогональные матрицы - и готов "оригинальный результат", нужно скорее его "впервые опубликовать"!!!
БУ-ГА-ГА!!!

[Karan]

См.
Ollinde Rodriguez, "Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace: et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire", Journal de mathématiques pures et appliquées, 5, pp. 380-440, 1840 год.
Simon L. Altmann, "Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal", Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 5, pp. 291-308, 1989.

[arseniiv]

Оси-оси… Между прочим, подобный фокус проворачивали (и весьма механическим алгебраическим способом) уже и в многомерном евклидовом пространстве, и даже многомерных с индефинитной метрикой.

[Pluto]

Благодарю за информацию!
Про "оригинальный результат" - это так, на всякий случай. Просто нигде больше я этих формул не нашел, а вещь практически полезная. Пришлось выводить самому.

[arseniiv]

Если вам будет интересен общий случай, отправиться можно от
https://en.wikipedia.org/wiki/Spin_group (точнее, https://en.wikipedia.org/wiki/Spin_group#Double_covering, но придётся всё равно читать определения выше);
https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_of_rotation#Mathematical_properties (выше про экспоненту и логарифм не упомянуто, и это не очевидно, если не разбираться в связи алгебр и групп Ли, однако можно определить и использовать без них).

[george66]

Вот это почитайте
Популярная книга по-русски

-- 03.05.2017, 19:36 --

и если понравится, потом вот это
Основательная книга по-английски

[george66]

Вспомнил, как это излагать. Поворот представляется вектором, направленным вдоль оси и с длиной, равной тангенсу половинного угла. Тогда произведение поворотов находится с помощью простой формулы Родригеса (во второй книжке, что я дал, она точно есть). Но повороты на 180 градусов уходят в бесконечность, тангенс половинного угла бесконечный.