Всеукраинская студенческая олимпиада

[General]

Олимпиада проводилась с 13 по 19 мая среди студентов 1-5 курсов, длительность - 4 часа

Категория Т - технические вузы

1. Каким условиям должны удовлетворять действительные числа $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c$, чтобы система линейных уравнений
$ \left\{ \begin{array}{l} -a_3 x_2 + a_2 x_3 = b_1,\\ a_3 x_1 + a_1 x_3 = b_2, \\ -a_2 x_1 + a_1 x_2 = b_3, \\ a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = c \end{array} \right. $
Имела бесконечное множество решений? (7 баллов)

2. На всех сторонах выпуклого шестиугольника $A_1A_2…A_6$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $A_1A_2B_6, A_2A_3B_1, A_3A_4B_2, … A_6A_1B_5$. Доказать, что $\overline{A_1B_1} + \overline{A_2B_2} + … + \overline{A_6B_6} = \overline{O} $ (5 баллов)

3. Даны параболы $y=x^2$ и $y=x^2+1$. Доказать, что хорда первой параболы, которая касается второй параболы, делится точкой касания пополам. (4 балла)

4. Последовательность $\left\{a_n\right\}, n\in N$, задана с помощью рекуррентной формулы $a_n=4a_{n-1}-3a_{n-2}, n \geqslant 3, a_1=a, a_2=b$. Найти $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}$ (7 баллов)

5.Найти все функции $f:R\to R$, которые при любых действительных x,y,z удовлетворяют уравнению $f(x)f(y)f(z)-f(xyz)=xy+yz+xz+x+y+z$ (4 балла)

6.Функция $f(x)$ удовлетворяет условиям: $f(1)=1, f’(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x), }$. Доказать, что существует $ \lim\limits_{n \to \infty} f(x)$ и что этот предел не больше $1+\frac{\pi}{4}$ . (6 баллов)

7.Функция $y=f(x)$ определена на отрезке [0;1] и в каждой точке этого отрезка имеет первую и вторую производные. Известно, что $f(0)=f(1)=0$ и $|f''(x)| \leqslant 1 $ на всём промежутке [0;1]. Доказать, что наибольшее значение, которое может принять максимум $f(x)$ среди всех функций, удовлетворяющих данным условиям, равен $\frac{1}{8}$ (8 баллов)

8.Найти несобственный интеграл $\int\limits_{0}^{+\infty} \left(\frac{1}{1+x^\alpha} - \frac{1}{1+x^\beta}\right)\frac{1}{x}dx $, где $\alpha, \beta \in R, \alpha>0, \beta>0$ , . (8 баллов)

9. Пусть многочлен $P_n(x)$ степени n с действительными коэффициентами при всех действительных значениях x принимает только положительные значения. Доказать, что этот многочлен можно представить в виде суммы квадратов двух многочленов (6 баллов)

10. Два тела нагрели до $100^0C$, затем пометили в среду, температура которой поддерживается постоянной и равной $0^0C$. Через 10 минут после начала охлаждения тел температура первого снизилась до $80^0C$, а температура второго – до $64^0C$. Через сколько минут с начала охлаждения температура одного из тел будет больше температуры другого на $25^0C$, если скорость изменения температуры тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды? (5 баллов)

Добавлено спустя 1 час 53 минуты 55 секунд:

Категория М – вузы и факультеты с углублённой математикой
1. См. 1Т (7 баллов)

2. На всех сторонах выпуклого n-угольника $A_1A_2…A_n$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $A_1A_2B_n, A_2A_3B_1, A_3A_4B_2, … A_nA_1B_{n-1}$. Доказать, что $\overline{A_1B_1} + \overline{A_2B_2} + … + \overline{A_nB_n} = \overline(O) $ (5 баллов)

3. Даны параболы $y=x^2$ и $y=x^2+m$. В каком отношении хорда первой параболы, которая касается второй параболы, делится точкой касания? (4 балла)

4. Последовательность $\left\{a_n\right\}, n\in N$, задана с помощью рекуррентной формулы $a_n=5a_{n-1}-4a_{n-2}, n \geqslant 3, a_1=a, a_2=b$. Найти $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{4^n}$ (7 баллов)

5. Найти все функции $f:R\to R$, которые при любых действительных x, y удовлетворяют уравнению $f(x)f(y)-f(xy)=xy+x+y-1$ (4 балла)

6. См. 6Т (5 баллов)

7. См. 7Т (8 баллов)

8. Найти несобственный интеграл $\int\limits_{0}^{+\infty} \left(\frac{1}{1+x^\alpha} - \frac{1}{1+x^\beta}\right)\frac{1}{x}dx $, где $\alpha, \beta \in R, \alpha\beta>0$. (7 баллов)

9. См. 7Т (6 баллов)

10. Решить дифференциальное уравнение $\frac{2}{3}xyy’=\sqrt{x^6-y^4}+y^2$ (7 баллов)

Категория С – вузы с 1 годом изучения математики
1. См. 1Т (7 баллов)

2. На всех сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $ABC_1, BCA_1, CAB_1$. Доказать, что $\overline{AA_1} + \overline{BB_1} + \overline{CC_1} = \overline{O} $ (5 баллов)

3. Доказать, что отрезок любой касательной к равнобокой гиперболе, лежащиё между её асимптотами, делится точкой касания пополам. (4 балла)

4. Последовательность $\left\{a_n\right\}, n\in N$, задана с помощью рекуррентной формулы $a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}, n \geqslant 3, a_1=a, a_2=b$. Найти $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{2^n}$ (7 баллов)

5. Найти все функции $f:R\to R$, которые при любых действительных x, y удовлетворяют уравнению $f\left(x-f(y)\right)=1-x-y$ (4 балла)

6. Какие числовые значения может принимать $\lim\limits_{x \to \infty}\left(\frac{x+a^2}{x+b^2}\right)^x$, если $4a^2+b^2+2b\leqslant 3.(6 баллов)

7. Известно, что функция $f(x)$ непрерывна на отрезке [0;1] дифференцируется на промежутке (0;1), $f(0)=4, f(1)=2, f’(x) \geqslant -2$ на всём промежутке [0;1]. Найти функцию $f(x)$ и доказать, что других функций, удовлетворяющих условиям, не существует. (8 баллов)

8. Доказать, что $\int \limits_{0}^{+\infty} \left(\frac{1}{1+x^\alpha} - \frac{1}{1+x^\beta}\right)\frac{1}{x}dx = 0$, где $\alpha, \beta \in R, \alpha>0, \beta>0$. (8 баллов)

9. Найти наименьшее значение функции $f(x)= \int\limits_{-1}^1\left|\sqrt[3]{u}-x\right|du, x \in R $См. 7Т (6 баллов)

10. Двое рабочих изготовили более 29 одинаковых деталей. Количество деталей, изготовленных первым рабочим, уменьшенное на 2, будет более чем в 3 раза превосходить количество деталей, изготовленных вторым рабочим. Утроенное количество деталей, изготовленное первым рабочим, превосходит удвоенное количество деталей, изготовленное вторым рабочим, но меньше 60. Сколько деталей изготовил каждый рабочий? (5 баллов)

[Kid Kool]

Одна задача понравилась, остальные чего-то не очень

General писал(а):

9. Пусть многочлен $P_n(x)$ степени n с действительными коэжффициентами при всех действительных значениях x принимает только положительные значения. Доказать, что этот многочлен можно представить в виде суммы квадратов двух многочленов (6 баллов)

Из условия следует, что у многочлена нет корней, поэтому он представим в виде произведения квадратных двучленов с отрицательными дискриминантами. Каждый из них - сумма 2-х квадратов, поэтому и произведение тоже.

[worm2]

Kid Kool писал(а):

Из условия следует, что у многочлена нет корней, поэтому он представим в виде произведения квадратных двучленов с отрицательными дискриминантами. Каждый из них - сумма 2-х квадратов, поэтому и произведение тоже.

Красиво!

[Профессор Снэйп]

Kid Kool писал(а):

Одна задача понравилась, остальные чего-то не очень

Ну, это известная задача. Мы её в физматшколе на семинарах решали, когда я там учился.

[arqady]

Профессор Снэйп писал(а):

Ну, это известная задача. Мы её в физматшколе на семинарах решали, когда я там учился.

Думаю, эту задачу решали в школе ещё во времена Гильберта.

[Коровьев]

Вообще-то эту задачу слегка упростили. Я помню её в виде
$f(x) \ge 0$
То бишь, вещественные корни могут и быть. И решение чуть удлиняется.

[Pyphagor]

Категория М
5. Таких $f$ - не существует.
Подставим $x=y=1$, получим $(f(1))^2-f(1)-2=0$ $\Rightarrow f(1)=-1, f(1)=2$
Теперь $x=0,y=1$ $f(0)(f(1)-1)=0 \Rightarrow f(0)=0 \Rightarrow y-1=0$
для любого $y$.Противоречие.

[Профессор Снэйп]

General писал(а):

4. Последовательность $\left\{a_n\right\}, n\in N$, задана с помощью рекуррентной формулы $a_n=4a_{n-1}-3a_{n-2}, n \geqslant 3, a_1=a, a_2=b$. Найти $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}$

Тоже довольно стандартная задача.

Имеем

$$ \left( \begin{array}{c} a_{n+2} \\ a_{n+1} \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc} 4 & -3 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ a_n \end{array}\right) $$

откуда

$$ \left( \begin{array}{c} a_{n+2} \\ a_{n+1} \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc} 4 & -3 \\ 1 & 0 \end{array}\right)^n \left( \begin{array}{c} a_2 \\ a_1 \end{array}\right) $$

Далее,

$$ \left( \begin{array}{cc} 4 & -3 \\ 1 & 0 \end{array}\right) = T \left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) T^{-1} $$

при

$$ T = \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) $$

Вычисляя обратную матрицу, получаем

$$ T^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 3/2 \end{array}\right) $$

и

$$ \left( \begin{array}{c} a_{n+2} \\ a_{n+1} \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} 3^n & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 3/2 \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} a_2 \\ a_1 \end{array}\right) $$

Наконец, аккуратно перемножив матрицы, имеем

$$ \left( \begin{array}{c} a_{n+2} \\ a_{n+1} \end{array}\right) = \frac{1}{2} \left( \begin{array}{c} (3^{n+1}-1)a_2 + (3-3^{n+1})a_1 \\ (3^n-1)a_2 + (3-3^n)a_1 \end{array}\right) $$

Значит, искомый предел равен

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{a_2-a_1}{6} = \frac{b-a}{6} $$

[TOTAL]

Профессор Снэйп писал(а):

General писал(а):

4. Последовательность $\left\{a_n\right\}, n\in N$, задана с помощью рекуррентной формулы $a_n=4a_{n-1}-3a_{n-2}, n \geqslant 3, a_1=a, a_2=b$. Найти $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}$

Тоже довольно стандартная задача.

Поэтому стандартно из характеристического уравнения $t^2-4t+3=0$ находим корни,
получаем общее решение $a_n=p+q \cdot 3^n$ и из начальных условий находим $q=\frac{b-a}{6}$

[Профессор Снэйп]

TOTAL писал(а):

Поэтому стандартно из характеристического уравнения $t^2-4t+3=0$ находим корни,
получаем общее решение $a_n=p+q \cdot 3^n$ и из начальных условий находим $q=\frac{b-a}{6}$

Ну а почему числа $p$ и $q$ существуют? Боюсь, что для обоснования этого факта придётся повторять рассуждения с матрицами.

Может, конечно, матрицу перехода искать и не придётся. Но в доказательстве она всё равно будет фигурировать.

[TOTAL]

Профессор Снэйп писал(а):

TOTAL писал(а):

Поэтому стандартно из характеристического уравнения $t^2-4t+3=0$ находим корни,
получаем общее решение $a_n=p+q \cdot 3^n$ и из начальных условий находим $q=\frac{b-a}{6}$

Ну а почему числа $p$ и $q$ существуют? Боюсь, что для обоснования этого факта придётся повторять рассуждения с матрицами.

Обосновать, что $p$ и $q$ однозначно находятся из системы?
$a=p+3q$
$b=p+9q$

[Профессор Снэйп]

TOTAL писал(а):

Обосновать, что $p$ и $q$ однозначно находятся из системы?
$a=p+3q$
$b=p+9q$

Нет. Обосновать, что найдутся числа $p,q \in \mathbb{R}$, такие что $a_n = p + q3^n$.

[TOTAL]

Профессор Снэйп писал(а):

Нет. Обосновать, что найдутся числа $p,q \in \mathbb{R}$, такие что $a_n = p + q3^n$.

Такое $a_n$ удовлетворяет уравнению при любых $p$ и $q$

[Kid Kool]

Коровьев писал(а):

Вообще-то эту задачу слегка упростили. Я помню её в виде
$f(x) \ge 0$
То бишь, вещественные корни могут и быть. И решение чуть удлиняется.

Да не, просто в случае наличия корней все одночлены должны входить в разложение в четных степенях.

[Коровьев]

Kid Kool писал(а):

Коровьев писал(а):

Вообще-то эту задачу слегка упростили. Я помню её в виде
$f(x) \ge 0$
То бишь, вещественные корни могут и быть. И решение чуть удлиняется.

Да не, просто в случае наличия корней все одночлены должны входить в разложение в четных степенях.

Так я и сказал, что "решение чуть удлиняется". Оно и удлинилось на фразу

Цитата:

в случае наличия корней все одночлены должны входить в разложение в четных степенях