Олимпиада проводилась с 13 по 19 мая среди студентов 1-5 курсов, длительность - 4 часа
Категория Т - технические вузы
1. Каким условиям должны удовлетворять действительные числа

, чтобы система линейных уравнений
Имела бесконечное множество решений? (7 баллов)
2. На всех сторонах выпуклого шестиугольника

во внешнюю сторону построены правильные треугольники

. Доказать, что

(5 баллов)
3. Даны параболы

и

. Доказать, что хорда первой параболы, которая касается второй параболы, делится точкой касания пополам. (4 балла)
4. Последовательность

, задана с помощью рекуррентной формулы

. Найти

(7 баллов)
5.Найти все функции

, которые при любых действительных x,y,z удовлетворяют уравнению

(4 балла)
6.Функция

удовлетворяет условиям:

. Доказать, что существует

и что этот предел не больше

. (6 баллов)
7.Функция

определена на отрезке [0;1] и в каждой точке этого отрезка имеет первую и вторую производные. Известно, что

и

на всём промежутке [0;1]. Доказать, что наибольшее значение, которое может принять максимум

среди всех функций, удовлетворяющих данным условиям, равен

(8 баллов)
8.Найти несобственный интеграл

, где

, . (8 баллов)
9. Пусть многочлен

степени n с действительными коэффициентами при всех действительных значениях x принимает только положительные значения. Доказать, что этот многочлен можно представить в виде суммы квадратов двух многочленов (6 баллов)
10. Два тела нагрели до

, затем пометили в среду, температура которой поддерживается постоянной и равной

. Через 10 минут после начала охлаждения тел температура первого снизилась до

, а температура второго – до

. Через сколько минут с начала охлаждения температура одного из тел будет больше температуры другого на

, если скорость изменения температуры тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды? (5 баллов)
Добавлено спустя 1 час 53 минуты 55 секунд:
Категория М – вузы и факультеты с углублённой математикой
1. См. 1Т (7 баллов)
2. На всех сторонах выпуклого n-угольника

во внешнюю сторону построены правильные треугольники

. Доказать, что

(5 баллов)
3. Даны параболы

и

. В каком отношении хорда первой параболы, которая касается второй параболы, делится точкой касания? (4 балла)
4. Последовательность

, задана с помощью рекуррентной формулы

. Найти

(7 баллов)
5. Найти все функции

, которые при любых действительных x, y удовлетворяют уравнению

(4 балла)
6. См. 6Т (5 баллов)
7. См. 7Т (8 баллов)
8. Найти несобственный интеграл

, где

. (7 баллов)
9. См. 7Т (6 баллов)
10. Решить дифференциальное уравнение

(7 баллов)
Категория С – вузы с 1 годом изучения математики
1. См. 1Т (7 баллов)
2. На всех сторонах треугольника

во внешнюю сторону построены правильные треугольники

. Доказать, что

(5 баллов)
3. Доказать, что отрезок любой касательной к равнобокой гиперболе, лежащиё между её асимптотами, делится точкой касания пополам. (4 балла)
4. Последовательность

, задана с помощью рекуррентной формулы

. Найти

(7 баллов)
5. Найти все функции

, которые при любых действительных x, y удовлетворяют уравнению

(4 балла)
6. Какие числовые значения может принимать

, если

.(6 баллов)
7. Известно, что функция

непрерывна на отрезке [0;1] дифференцируется на промежутке (0;1),

на всём промежутке [0;1]. Найти функцию

и доказать, что других функций, удовлетворяющих условиям, не существует. (8 баллов)
8. Доказать, что

, где

. (8 баллов)
9. Найти наименьшее значение функции
![$f(x)= \int\limits_{-1}^1\left|\sqrt[3]{u}-x\right|du, x \in R $ $f(x)= \int\limits_{-1}^1\left|\sqrt[3]{u}-x\right|du, x \in R $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/2/fd253000096e159dbf8ccd4705aeacda82.png)
См. 7Т (6 баллов)
10. Двое рабочих изготовили более 29 одинаковых деталей. Количество деталей, изготовленных первым рабочим, уменьшенное на 2, будет более чем в 3 раза превосходить количество деталей, изготовленных вторым рабочим. Утроенное количество деталей, изготовленное первым рабочим, превосходит удвоенное количество деталей, изготовленное вторым рабочим, но меньше 60. Сколько деталей изготовил каждый рабочий? (5 баллов)