Ошибки логических рассуждений в математике

[DmitryMalkov]

Очень часто люди, рассуждая как бы логически, приходят к неверным умозаключениям. Найти ошибку в логике трудно. И даже, если интуитивно понятно место ошибки, трудно ее твердо объяснить.

Меня пока интересует ошибка, связанная с рассуждениями типа "при стремлении чего-то к бесконечности, что-то устремляется к какому-то пределу". Где четкие правила, по которым данной фразой можно пользоваться? Если таких правил нет, то этим будут пользоваться везде, приходя к неверным результатам.

Например есть такая задача: доказать, что сумма катетов произвольного прямоугольного треугольника (Евклидового) равна гипотенузе.



Возьмем произвольный прямоугольный треугольник и разделим его гипотенузу на $n$ равных частей, где $n$ -- некоторое натуральное число, а затем через каждую точку деления проведем пару прямолинейных отрезков, один параллельно одному катету, другой параллельно другому катету. Продолжив эти отрезки до их взаимного пересечения вне треугольника, получим ступенчатую ломаную, изображенную на чертеже. Сумма длин всех звеньев этой ломаной равна сумме катетов, так как сумма всех проведенных отрезков, параллельных одному из катетов, равна этому катету.

Будем теперь неограниченно увеличивать число $n$, придавая ему последовательно значения $2, 4, 8, 16, \ldots$ и т. д. Число звеньев в нашей ломаной линии будет при этом неограниченно возрастать (оно равно $2n$), но длина каждого звена будет стремиться к нулю, и ломаная линия будет все меньше и меньше отличаться от гипотенузы. В пределе при $n \rightarrow \infty$ ломаная сольется с гипотенузой, а потому длина ломаной в пределе будет равна длине гипотенузы. Но длина всей ломаной равна сумме катетов. Значит длина гипотенузы равна длине катетов.

-----------------------

Жирным я выделил место, где я нашел, как мне кажется, ошибку логического рассуждения. Но я не могу ее объяснить, так как я не видел четких правил применения данных формулировок. Встречаю следующее противодействие:

Цитата:

Это рассуждение логически абсолютно правильное. Можете открыть любой учебник по математическому анализу и вы везде будете встречать фразы такие, как "Равносторонний многоугольник, вписанный в окружность, при стремлении числа вершин к бесконечности превращается в окружность, и таким образом можно найти длину его периметра" или "прямая, на которой лежит хорда окружности, превращается в касательную при стремлении вершин хорды друг к другу". Здесь мы имеем неправильный результат при правильном рассуждении. Это парадокс, разрешение которого может привести к появлению новых теорий.

Нужно доходчиво объяснить (мне тоже), когда такими формулировками пользоваться правильно, а когда неправильно. Нужны четкие правила. Иначе будем иметь под боком культ Карго.

[dsge]

$x^n$ стремится к $0$ на интервале $(0,1)$ при $n \to \infty$, т.е. к отрезку длиной 1, а длина кривых, определяемых этими функциями, на этом же интервале стремится к $2$.

[Xaositect]

DmitryMalkov в сообщении #1214022 писал(а):

Меня пока интересует ошибка, связанная с рассуждениями типа "при стремлении чего-то к бесконечности, что-то устремляется к какому-то пределу". Где четкие правила, по которым данной фразой можно пользоваться?

В учебнике матанализа.

DmitryMalkov в сообщении #1214022 писал(а):

Жирным я выделил место, где я нашел, как мне кажется, ошибку логического рассуждения. Но я не могу ее объяснить, так как я не видел четких правил применения данных формулировок.

Из того, что максимальное расстояние между двумя кривыми (в данном случае, гипотенузой и ломаной) стремится к нулю, не следует, что длины этих кривых стремятся друг к другу.

Цитата:

Равносторонний многоугольник, вписанный в окружность, при стремлении числа вершин к бесконечности превращается в окружность, и таким образом можно найти длину его периметра

Покажите хоть один учебник матанализа, где написан такой бред.

Цитата:

прямая, на которой лежит хорда окружности, превращается в касательную при стремлении вершин хорды друг к другу

А вот это утверждение правильное, но надо, разумеется, понимать, в каком именно смысле здесь понимается стремление прямых друг к другу.

[ewert]

DmitryMalkov в сообщении #1214022 писал(а):

В пределе при $n \rightarrow \infty$ ломаная сольется с гипотенузой, а потому длина ломаной в пределе будет равна длине гипотенузы.

Мало ли что сольётся. Это ещё не означает, что какие-то характеристики сольются. Для этого нужны дополнительные основания. К примеру:

DmitryMalkov в сообщении #1214022 писал(а):

везде будете встречать фразы такие, как "Равносторонний многоугольник, вписанный в окружность, при стремлении числа вершин к бесконечности превращается в окружность, и таким образом можно найти длину его периметра"

-- здесь такие основания есть. Это, в сущности, просто определение длины кривой (пусть и неаккуратно сформулированное). Но, заметьте: здесь речь о ломаной именно вписанной. В Вашем же примере -- о ломаной абы какой. Ну и на что надеяться-то?...

[slavav]

Словесные рассуждения хороши, когда вы можете обосновать каждый свой шаг на более формальном уровне.

DmitryMalkov в сообщении #1214022 писал(а):

и ломаная линия будет все меньше и меньше отличаться от гипотенузы.

В каком смысле "все меньше и меньше"? Определите, пожалуйста, способ, которым вы измеряете отличия.

DmitryMalkov в сообщении #1214022 писал(а):

В пределе при $n \rightarrow \infty$ ломаная сольется с гипотенузой

Здесь требуется определить, что такое предел последовательности ломаных. Что вы предлагаете?

DmitryMalkov в сообщении #1214022 писал(а):

а потому длина ломаной в пределе будет равна длине гипотенузы.

Пользуясь понятием предела последовательности ломаных, нужно доказать следующую теорему: Предел длин ломаных равен длине предела ломаных. Эта теорема имеет вид $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n) = f(\lim\limits_{n\to\infty}x_n)$. В курсе математического анализа доказывается несколько теорем такого вида. Но это не значит, что все такие теоремы для любых функций и любых последовательностей верны. Вам следует доказать эту теорему.

После выполнения этой программы можно будет сказать, что рассуждение верно. Но вы не сможете её выполнить. Доказательство последней теоремы требует от последовательности ломаных таких свойств, которых нет у пилы из примера, но есть, например, у правильных многоугольников вписанных в окружность.

[ewert]

Xaositect в сообщении #1214031 писал(а):

Цитата:

Равносторонний многоугольник, вписанный в окружность, при стремлении числа вершин к бесконечности превращается в окружность, и таким образом можно найти длину его периметра

Покажите хоть один учебник матанализа, где написан такой бред.

Это не бред, это фактически верно. Всего лишь разгильдяйство формулировки. Но это ведь и не точная цитата была, а всего лишь изложение идеи.

[DmitryMalkov]

Среди ответов имеются достойные. Я нашел разъяснение этой задачи в книге "Ошибки в математических рассуждениях " (1959), скопирую его ниже.
-------------------------------

Подмена точных определений геометрической интуицией.

Доказательство всякого математического суждения должно быть основано: на первичных понятиях, на точных определениях всех остальных понятий, аксиомах, ранее доказанных теоремах данной научной области и только на них. Определения устраняют неопределенность используемых понятий (терминов), которая часто служит причиной разнообразных заблуждений. Известное правило Паскаля (1623— 1662) предупреждает, что для проверки нужно подставлять определения вместо терминов.

Однако нередко возникают ошибки из попыток учащихся устанавливать в качестве дополнительных оснований доказательства какие-либо данные опыта, извлекаемые из наглядного изображения. Это дало повод для появления еще в середине прошлого века среди ярко выраженных умов аналитического склада тенденции к изгнанию чертежа из математики.

Созерцание чертежа производит на начинающих изучение курса математики сильное впечатление. Оно выступает в качестве бесспорного факта, которому надлежит только подыскать подходящее объяснение. Даже студенты под влиянием наглядного образа порой склонны забывать о точных определениях тех или иных понятий, особенно там, где зрительное впечатление, казалось бы, полностью дает непосредственный ответ на поставленный вопрос, не требуя косвенной проверки.

Итак, рассматриваемый вопрос достаточно сложен, а правильное его понимание имеет исключительно большое идейно-образовательное значение. Последнему способствует разбор специально подобранных примеров, построенных на излишнем доверии к геометрической интуиции, которая, казалось бы, выступает в качестве эквивалента соответствующих точных определений. Пожалуй, это особенно относится к применению понятия предела. Софизмы на эту тему нашли свое отражение и в некоторых методически обработанных задачниках по математическому анализу.

Пример. Сумма катетов равна гипотенузе.

В приведенном рассуждении допущен произвольный вывод: из стремления ломаной слиться с гипотенузой в том смысле, как это указано в тексте, нет оснований заключать, что пределом длины ломаной является длина гипотенузы. Таким образом, это предположение осталось необоснованным. Обосновать его и нельзя, так как оно ложно. В самом деле, мы здесь не находимся в условиях применимости понятия предела: разность между переменной величиной, в частном случае постоянной (длина ломаной), и ее предполагаемым пределом (гипотенузой) не является ни бесконечно малой величиной, ни ее частным случаем — нулем.

[Brukvalub]

DmitryMalkov в сообщении #1214047 писал(а):

В самом деле, мы здесь не находимся в условиях применимости понятия предела: разность между переменной величиной, в частном случае постоянной (длина ломаной), и ее предполагаемым пределом (гипотенузой) не является ни бесконечно малой величиной, ни ее частным случаем — нулем.

А почему же тогда разница между периметром правильного многоугольника, вписанного в окружность, и длиной этой окружности стремится к нулю с увеличением числа сторон многоугольника? Это откуда берется?

[diletto]

Brukvalub в сообщении #1214066 писал(а):

DmitryMalkov в сообщении #1214047 писал(а):

В самом деле, мы здесь не находимся в условиях применимости понятия предела: разность между переменной величиной, в частном случае постоянной (длина ломаной), и ее предполагаемым пределом (гипотенузой) не является ни бесконечно малой величиной, ни ее частным случаем — нулем.

А почему же тогда разница между периметром правильного многоугольника, вписанного в окружность, и длиной этой окружности стремится к нулю с увеличением числа сторон многоугольника? Это откуда берется?

Не претендуя на осведомленность в вопросе логических ошибок вообще...
Попытка заменить длину "лесенки" длиной гипотенузы неформально-наглядно опровергается короткой фразой "возьмите лупу". То есть, преобразование подобия не изменяет линейных соотношений. Плоская геометрия не зависит от масштаба (одинакова у пигмеев и гигантов).
Это замечание тривиально, но, скажем, для преподавателя может иметь некоторый методический интерес.

[ewert]

diletto в сообщении #1217582 писал(а):

Попытка заменить длину "лесенки" длиной гипотенузы неформально-наглядно опровергается короткой фразой "возьмите лупу".

Да не этим она опровергается. А просто тупым несоответствием построения определению длины кривой. Какое бы определение ни давать.